2014　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$a$は$a>0$を満たす定数とし，$3$次関数$f(x)=x^3-a{x}^2+a$を考える．このとき，$f(x)$は$x=\boxed{\text{ア}}$で極小値をとる．また，$f(x)=0$が，ただ$1$つの実数解をもつための条件は$a<\boxed{\text{イ}}$である．次に，関数$g(x)=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$を考える．$g(x)$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，曲線$y=g(x)$の第$1$象限にある変曲点の$x$座標は$\boxed{\text{エ}}$である．さらに，$x$軸上の点$(p,0)\text{（}p>0\text{）}$から曲線$y=g(x)$への接線がただ$1$つ引けるための条件は$p<\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　初項$a_1\text{，}$公比$r$が正の数である等比数列$\{a_n\}$について$a_2=6\text{，}{a}_5=48$が成り立っている．このとき，$a_1=\boxed{\text{カ}}\text{，}r=\boxed{\text{キ}}$である．したがって，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+\cdots +{a_n}^2=\boxed{\text{ク}}$となる．$b_n=a_n{a}_{n+1}$とすると数列$\{b_n\}$も公比$\boxed{\text{ケ}}$の等比数列となり，$b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{5}}& 1\end{array}\right)$とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(0,2)\text{，}\mathrm{Q}(10,-5)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　行列$A^2$と$A^3$を求めよ．

(2)　行列$A^n$と$B^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}$の像を${\mathrm{P}}_n\text{，}$行列$B^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{Q}$の像を${\mathrm{Q}}_n$とする．点${\mathrm{P}}_n$と点${\mathrm{Q}}_n$の座標をそれぞれ求めよ．

(4)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の面積$S_n$を求めよ．

(5)　$S_n$の最小値と，そのときの$n$の値を求めよ．

【３】　媒介変数表示

$\{\begin{array}{l}x=\sin (3t)\\ y=\sin (2t)\end{array}\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で定める曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点で，$x$座標が最大となる点の座標を求めよ．また，$x$座標が最小となる点の座標をすべて求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$x=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}x=0\text{，}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$との交点の座標をすべて求めよ．

(3)　曲線$C$が$x$軸に関して対称であることを示せ．

(4)　座標平面上に曲線$C$の概形を描け．

(5)　曲線$C$が囲む図形の面積を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，次の不等式が成立することを示せ．

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}<\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n(n\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})-1)$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^t-1}{t}}$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n(e^{-\frac{1}{2n}}-1)$と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n(e^{-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}}-1)$をそれぞれ求めよ．

(5)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n({(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n-e)$を求めよ．