2014　同志社大　文化情報学部2月27日実施$$

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　$1$つのサイコロを$2$度投げ，最初に出た目を$a$とし，次に出た目を$b$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，方程式${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$で定義される直線$L$を考える．$x$座標$y$座標ともに整数である点を格子点ということにする．

　直線$L$が直線$x+y=0$と平行である確率は$\boxed{\text{ア}}$である．直線$L$と原点$\mathrm{O}$との距離が$3$以上である確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

　$x$軸，$y$軸および直線$L$で囲まれる$3$角形の面積を$S\text{，}$周の長さを$T$とする．この$3$角形の面積$S$が$3$以上である確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．この$3$角形の面積$S$の値が整数値である確率は$\boxed{\text{エ}}$である．この$3$角形の周の長さ$T$が$7$以上である確率は$\boxed{\text{オ}}$である．この$3$角形の周の長さ$T$が$11$以上である確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

　第$1$象限において直線$L$上にある格子点の個数が$0$である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．第$1$象限において直線$L$上にある格子点の個数が$1$である確率は$\boxed{\text{ク}}$である．第$1$象限において直線$L$上にある格子点の個数が$2$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．第$1$象限において直線$L$上にある格子点の個数が$3$以上である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．頂角が$\theta \text{，}$底辺の長さが$1$である$▵\mathrm{ABC}$について考える．つまり，$\angle A=\theta \text{，}\mathrm{BC}=1$とする．$\mathrm{AB}=x\text{，}\mathrm{AC}=y$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$の満たす関係式を$\theta$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さ$x$の取り得る値の最大値を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$x\text{，}y\text{，}\theta$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$の取り得る値の最大値を$\theta$を用いて表せ．

(5)　$▵\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$の取り得る値の最大値を$\theta$を用いて表せ．

【３】　座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$と$y$軸上の点$(0,p)$を中心とする半径$1$の円$C_p\text{：}{x}^2+{(y-p)}^2=1$について，以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と円$C_p$が共有点を持つための$p$の値の範囲を求めよ．

(2)　放物線$C$と円$C_p$が共有点をただ$1$つ持つとき$p$の値を求めよ．

(3)　放物線$C$と円$C_p$が共有点を$2$つ持ち，放物線$C$が円$C_p$を$2$つの部分に分けるような$p$の値の範囲を求めよ．

(4)　放物線$C$と円$C_p$が共有点を$3$つ持つとき$p$の値を求めよ．

(5)　放物線$C$と円$C_p$が共有点を$4$つ持つとき$p$の値の範囲を求めよ．

(6)　放物線$C$と円$C_p$が共有点を$2$つ持ち，円$C_p$が領域$y\geqq x^2$に含まれるとき$p$の値を求めよ．またそのとき，放物線$C$と円$C_p$で囲まれる図形で円$C_p$の外部にある図形の面積を求めよ．