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2014-14861-0901
2014 同志社大学 理工学部2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 数列 { an } が a1= 1 ,a n+1 =4⁢ an+ 1 で与えられているとき, a2 = ア であり,その一般項は an= イ となる.また, an+ 2- an を 5 で割った余りは ウ である.ここで, a を 5 で割った余りを b n とする.このとき b4= エ , b5 = オ であり, ∑k =12 ⁢n ak ⁢bk = カ である.
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(2) 座標平面において 1 次変換 f による点 A ( 2,0 ) の像は点 C ( 4,0 ) であり,点 B ( 0,4 ) の像も点 C ( 4,0 ) であるとする.このとき, f による点 D ( 3,2 ) の像は点 ( キ , ク ) である.次に,放物線上を動く点 D (t , -1 2⁢ t 2+1 ) ( 0≦t≦ 4) の f による像を点 Q とする.点 Q の x 座標の最大値は ケ であり,そのときの点 P の x 座標は コ である.
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【2】 座標空間において原点 O ( 0,0, 0) と, 3 点 A ( a,a, b) ,B ( a,b, a) ,C ( b,a, a) ( b>a≧ 0 ) を頂点とする四面体 OABC を考える.次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の面積 S を求めよ.
(2) 四面体 OABC の体積 V を求めよ.
(3) 四面体 OABC が正四面体となる条件を, a と b を用いて表せ.
(4) a ,b がともに自然数のとき,(3)の条件を満たす b の最小値と,そのときの a の値をそれぞれ求めよ.また,そのときの S と V を求めよ.
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【3】 座標平面において x 軸上を動く点 P ( a,0 ) を中心とする半径 1 の円を K とする.次の問いに答えよ.
(1) 円 K が直線 y =x-2 と接するときの a の値を求めよ.
(2) t を変数とする関数を, F⁡( x)= ∫ t1 1-x 2⁢ dx ( -1≦t ≦1 ) とする.
0≦a <1 のとき,円 K の内部と領域 x ≦0 の共通部分の面積を関数 F ⁡( x) を用いて表せ.
(3) 領域 D ={ (x, y) | x≧0 ,y≧x -2 } とする.円 K の内部と領域 D との共通部分の面積が最大となるときの a の値を求めよ.
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【4】 O を原点とする座標平面において,曲線 C1: y=log⁡ x+log⁡ t と曲線 C 2:y =a⁢x 2 を考える.ただし a と t は正の実数である.曲線 C 1 と C 2 は共有点 P を持ち,また, P における C 1 と C 2 の接線が一致するものとする.次の問いに答えよ.
(1) P の x 座標を x 0 とする. x0 , a ,t の間に成立する関係式を書け.
(2) x0 と a をそれぞれ t を用いて表せ.
(3) P における C 2 の法線を l とする.また, l と x 軸の交点を Q ,l と y 軸の交点を R とする. ▵OQR の面積 S ⁡( t) を求め,また, S⁡( t) を最小とする t の値を求めよ.
(4) t が(3)で求めた値のとき,曲線 C1 ,C2 と x 軸が囲む図形の面積を求めよ.