2014　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}})}^2+{(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})}^2$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x=9^{{\log }_{3}2x}$を満たす$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　${(x-2y)}^5$の展開式における$x^2{y}^3$の係数の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$f(x)=x^2-2x+a\text{，}g(x)=-x^2+2x+1$とするとき，すべての$x$に対して$f(x)>g(x)$が成り立つような実数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}y+{\displaystyle \frac{1}{2}}x\leqq 3\text{，}y+8y\leqq 18$を満たす点$(x,y)$のなす領域における$x+y$の最大値を求めよ．

【２】　$xy$平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$の上に相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)$と$\mathrm{B}(b,b^2)$をとる．ただし，$a<0\text{，}b>0$とする．

　放物線$C$の点$\mathrm{A}$における接線を$l$とし，点$\mathrm{B}$における接線を$k$とする．また，点$\mathrm{A}$を通る直線で接線$l$と直交するものを$m$とし，点$\mathrm{B}$を通る直線で接線$k$と直交するものを$n$とする．さらに，接線$l$と接線$k$とは直交するものとする．$2$直線$l$と$k$との交点を$\mathrm{P}\text{，}2$直線$m$と$n$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$と直線$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いてそれぞれ表せ．

(4)　点$\mathrm{A}$が放物線$C$の第$2$象限の部分を動く時，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(5)　放物線$C$と接線$l$と接線$k$とで囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$とする．点$\mathrm{C}$を中心とする半径$r$$\text{（}r>1\text{）}$の円$C$が点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通るとする．ただし，点$\mathrm{O}$は円$C$の外にあるとする．また，直線$\mathrm{OA}$と円$C$の交点の内，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$と円$C$の交点の内，$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．さらに，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の成す角度を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を求めよ．

(4)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．