2014　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$a$を定数とするとき，$x$の$3$次方程式

$x^3+(a-1)x^2+x+3-a=0\cdots \text{①}$

について，

(a)　任意の$a$の値に対し，方程式$\text{①}$は$x=\boxed{\text{ア}}$を解にもつ．

(b)　方程式$\text{①}$の$3$つの解のうちの$2$つが等しいとき，$a$の値の中で最も小さい値は$a=\boxed{\text{イ}}$であり，最も大きい値は$a=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　$a>0\text{，}a\ne 1$とする．

${\log }_{a}8=1.81\text{，}{\log }_{a}27=2.88\text{，}{\log }_{a}125=4.12$として，次の$4$つの数の大小を考える．

$1\text{，}{\log }_a\sqrt{3}\text{，}{\log }_a{\displaystyle \frac{9}{2}}\text{，}{\log }_{10}a$

この$4$つの数を大小の順に並べると，$x<y<z<w$となる．このとき，$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}z=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(3)　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{Q}(\cos 2\theta ,2\sin 2\theta )$がある．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

原点を$\mathrm{O}$とするとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S$を，$\sin \theta$を用いて表すと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{カ}})$

である．

したがって，面積$S$が最大となるのは，$\theta =\boxed{\text{キ}}$のときで，最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(4)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{AB}=2$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(a)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めると，$\boxed{\text{ケ}}$である．

(b)　辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{13}}(\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　放物線と直線で囲まれた図形の面積を考える．

(1)　放物線$C_1\text{：}y=x^2+1$に原点$\mathrm{O}$から$2$つの接線を引き，傾きが正の接線との接点を$\mathrm{A}\text{，}$傾きが負の接線との接点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．

　次に，放物線$C_1$と直線$y=\boxed{\text{シ}}$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$放物線$C_1$と原点$\mathrm{O}$から$C_1$に引いた$2$つの接線で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，$S_1=\boxed{\text{ス}}\text{，}{S}_2=\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$a\text{，}b$を定数（$b>0$）とする放物線$C_2\text{：}y=x^2+ax+b$と原点$\mathrm{O}$から$C_2$に引いた$2$つの接線を考える．$x$座標が大きい方の接点を$\mathrm{P}\text{，}$小さい方の接点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$で，$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$である．

　次に，放物線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積$S_3$を求めると，$S_3=\boxed{\text{テ}}$である．放物線$C_2$と原点$\mathrm{O}$から$C_2$に引いた$2$つの接線で囲まれた図形の面積$S_4$を求めると，$S_4=\boxed{\text{ト}}$である．

(3)　点$(0,b+1)$を通る傾き$m$の直線と(2)の放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_5$とする．$S_5$が最小となるのは，$m=\boxed{\text{ナ}}$のときで，$S_5$の最小値は$\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　$n$階建て（$n\geqq 2$）のホテルの全客室に，$2$種類の新聞$\mathrm{A}$紙と$\mathrm{B}$紙（どちらも全客室に比べて十分多い）のどちらか$1$紙を必ず配るときの配り方の総数$a_n$を考える．ただし，$\mathrm{A}$紙を配った客室の上下および隣の客室には必ず$\mathrm{B}$紙を配るものとする．

　ホテルは$1$階に客室はなく，$2$階以上には客室が各階に$2$つある$n$階建てとし，客室の下には客室が$1$つのみ存在する．

　例えば，$2$階建て（$n=2$）の場合，配る客室は$2$階の$2$客室のみなので，$\mathrm{A}$紙の配り方で場合分けすると，$\mathrm{A}$紙を配らない場合と，$\mathrm{A}$紙を客室$1$つだけに配る場合があり，配り方の総数は$a_2=3$となる．右図は，$4$階建て（$n=4$）の場合の新聞の配り方の$1$例を示している．

(1)　$a_3=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{ネ}}\text{，}{a}_5=\boxed{\text{ノ}}$である．

(2)　ここで，$6$階建てのホテルの場合の総数は，$5$階建てと$4$階建てのホテルでの総数を用いて，$a_6=\boxed{\text{ハ}}{a}_5+\boxed{\text{ヒ}}{a}_4$と表される．同様に考えると，一般の場合でも，$a_{n+2}=\boxed{\text{ハ}}{a}_{n+1}+\boxed{\text{ヒ}}{a}_n$という漸化式が成り立つ．

(3)　したがって，$a_8$の値は$\boxed{\text{フ}}$である．

(4)　次に，上で定められた数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めるため，(2)の漸化式を$(a_{n+2}-\alpha a_{n+1})=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$に変形する．この式を満たす$\alpha \text{，}\beta$の組を$2$つ求めると，$\alpha =\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ホ}}$（複号同順）となる．

(5)　(4)で得られる$2$つの漸化式を用いて数列$\{a_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\boxed{\text{マ}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$である．

【４】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を考える．最初，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はともに原点$\mathrm{O}(0,0)$に，点$\mathrm{C}$は点$(1,0)$に位置している．

　表と裏が出る確率が等しい$3$枚のコイン$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を同時に投げ，次のように$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を動かす．コイン$\alpha$で表が出たとき，点$\mathrm{A}$は$x$軸上を正の方向に$1$進み，裏が出たとき，点$\mathrm{A}$は同じ位置にとどまる．コイン$\beta$で表が出たとき，点$\mathrm{B}$は$x$軸上を負の方向に$1$進み，裏が出たとき，点$\mathrm{B}$は同じ位置にとどまる．コイン$\gamma$で表が出たとき，点$\mathrm{C}$は原点$\mathrm{O}$を中心に半径$1$の円周上を反時計回りに$45$度回転移動し，裏が出たとき，点$\mathrm{C}$は同じ位置にとどまる．

　このような試行を$4$回繰り返すとき，次の各問いに答えよ．

　ただし，(2)，(3)において，$3$点の作る面積とは，$3$点が同一直線上にあるときは$0$とし，そうでないときは，その$3$点を頂点とする三角形の面積とする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がすべて$x$軸上に位置する確率は$\boxed{\text{ミ}}\text{，}3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうちの$2$点が同じ位置にある確率は$\boxed{\text{ム}}\text{，}3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が二等辺三角形の頂点となる確率は$\boxed{\text{メ}}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の作る面積の最大値$S$は，$S=\boxed{\text{モ}}$で，最大値をとる確率は$\boxed{\text{ヤ}}$である．また，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の作る面積が無理数となる確率は$\boxed{\text{ユ}}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$の作る面積の期待値$E$は，$E=\boxed{\text{ヨ}}$である．