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2014 立命館大学 理系学部A方式

2月3日実施

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とし,定点 P ( a,-2 a2 ) 3 次曲線

Cy =x3 -3 x2

を考える.

(1) 曲線 C 上の点 ( t,t3 -3 t2 ) における接線の方程式は

y=

であり,この接線が点 P を通るための必要十分条件は t が方程式

2t 3-3 ( ) t2+ t- =0

を満たすことである. の左辺を t の関数と考えて g (t ) とおく.このとき,導関数 g ( t)

g (t )=6 (t- ) (t - )

であり, g ( ) g ( ) a の多項式として因数分解すると

g ( ) g( ) =

となる.

(2) 点 P から曲線 C 3 本の接線が引ける a の範囲は

a< <a<

である.

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2月3日実施

易□ 並□ 難□

【2】 曲線 C y=log x 上に点 P0 をとり,その x 座標を p とする.ただし,対数は自然対数とする. P0 における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q1 とすると, Q1 y 座標は である. Q1 を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P1 とすると, P1 x 座標は である.

 次に, P1 における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q2 とし, Q2 を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P2 とする.この操作を続けて, y 軸上の点 Q1 Q2 Q k と曲線 C 上の点 P1 P2 Pk を定める.このとき,点 Qk y 座標は Pk x 座標は である. 2 直線 Pk -1 Qk Q kP k と曲線 C で囲まれた図形の面積を S k とすると

S1= Sk = Sk- 1 k2 ), k= 1 Sk=

である.

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【3】  a>0 として,関数

f( x)= (2 a- 1a ) cos2 x+6 cosx sinx +( 2a -a ) sin2 x

を考える. f( x) cos 2x sin2 x を用いて表すと

f( x)= cos2 x+ sin2 x+

である. f( x) の最大値を M 最小値を m とすると

M= m=

である. 0x π の範囲における, x についての方程式 f (x )=M の解を x1 f (x) =m の解を x 2 とすると,

cosx 1= cosx 2= x1 -x2=

である. a を変化させるとき,積 M m のとりうる値の範囲は

Mm

である.

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【4】  1 個のさいころを 4 回投げて,出た目を順に X Y Z W とする. X Y=1 となる確率は であり, X Y=2 となる確率は である.また, X Y が整数となる確率は である.

  X Z=1 かつ YW =1 である確率は である. X Z=2 かつ YW = 12 である確率は である. X Z=3 かつ YW = 13 である確率および XZ = 32 かつ YW = 23 である確率は共に である. XY ZW =1 である確率は である.

(注:全て既約分数で答えよ.)

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