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2014-14891-0601
2014 立命館大学 理系学部A方式
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とし,定点 P ( a,-2 ⁢a2 ) と 3 次曲線
C:y =x3 -3⁢ x2
を考える.
(1) 曲線 C 上の点 ( t,t3 -3⁢ t2 ) における接線の方程式は
y= ア
であり,この接線が点 P を通るための必要十分条件は t が方程式
2⁢t 3-3⁢ ( イ )⁢ t2+ ウ ⁢ t- エ =0 ⋯ ①
を満たすことである. ① の左辺を t の関数と考えて g ⁡(t ) とおく.このとき,導関数 g ′⁡( t) は
g′⁡ (t )=6 (t- オ ) ⁢(t - カ )
であり, g⁡ ( オ ) ⁢g⁡ ( カ ) を a の多項式として因数分解すると
g⁡ ( オ )⁢ g⁡( カ ) = キ
となる.
(2) 点 P から曲線 C に 3 本の接線が引ける a の範囲は
a< ク , ク <a< ケ
である.
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【2】 曲線 C :y=log ⁡x 上に点 P0 をとり,その x 座標を p とする.ただし,対数は自然対数とする. P0 における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q1 とすると, Q1 の y 座標は コ である. Q1 を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P1 とすると, P1 の x 座標は サ である.
次に, P1 における曲線 C の接線と y 軸との交点を Q2 とし, Q2 を通り x 軸に平行な直線と曲線 C との交点を P2 とする.この操作を続けて, y 軸上の点 Q1 , Q2 , ⋯ ,Q k ,⋯ と曲線 C 上の点 P1 , P2 , ⋯ , Pk , ⋯ を定める.このとき,点 Qk の y 座標は シ , 点 Pk の x 座標は ス である. 2 直線 Pk -1 Qk , Q kP k と曲線 C で囲まれた図形の面積を S k とすると
S1= セ , Sk = ソ ⁢ Sk- 1 ( k≧2 ), ∑k= 1∞ Sk= タ
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【3】 a>0 として,関数
f⁡( x)= (2⁢ a- 1a ) ⁢cos2 ⁡x+6 ⁢cos⁡x ⁢sin⁡x +( 2a -a ) ⁢sin2 ⁡x
を考える. f⁡( x) を cos ⁡2⁢x , sin⁡2 ⁢x を用いて表すと
f⁡( x)= チ ⁢ cos⁡2⁢ x+ ツ ⁢ sin⁡2⁢ x+ テ
である. f⁡( x) の最大値を M , 最小値を m とすると
M= ト , m= ナ
である. 0≦x ≦π の範囲における, x についての方程式 f ⁡(x )=M の解を x1 ,f⁡ (x) =m の解を x 2 とすると,
cos⁡x 1= ニ , cos⁡x 2= ヌ , x1 -x2= ネ
である. a を変化させるとき,積 M ⁢m のとりうる値の範囲は
M⁢m ≦ ノ
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【4】 1 個のさいころを 4 回投げて,出た目を順に X , Y ,Z , W とする. X Y=1 となる確率は ハ であり, X Y=2 となる確率は ヒ である.また, X Y が整数となる確率は フ である.
X Z=1 かつ YW =1 である確率は ヘ である. X Z=2 かつ YW = 12 である確率は ホ である. X Z=3 かつ YW = 13 である確率および XZ = 32 かつ YW = 23 である確率は共に マ である. X⁢Y Z⁢W =1 である確率は ミ である.
(注:全て既約分数で答えよ.)