2014　立命館大　文系学部A方式2月4日実施MathJax

【１】

(1)　放物線$P_1\text{：}y=x^2-6x+9$と放物線$P_2\text{：}y=-x^2+2x-1$の両方に接する直線の方程式を次のように考えて求める．

　放物線$P_1$上の$x$座標が$a$である点における接線の方程式は，$y=(\boxed{\text{ア}})x+(\boxed{\text{イ}})$である．

　また，放物線$P_2$上の$x$座標が$b$である点における接線の方程式は，$y=(\boxed{\text{ウ}})x+(\boxed{\text{エ}})$である．

　これら$2$つの直線が一致する条件から，求める直線は，$y=-\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$と$y=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(2)　半径$4\text{，}9$の$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$が点$\mathrm{P}$で外接し，点$\mathrm{P}$と異なる円$C_1$上の点$\mathrm{A}$と，円$C_2$上の点$\mathrm{B}$で接する直線$l$がある．このとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ク}}$である．

　この$2$つの円に外接し，直線$l$と線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{R}$で接する円の半径を$r$とすると，$r=\boxed{\text{ケ}}$である．

　次に直線$m$は点$\mathrm{P}$で円$C_1\text{，}$円$C_2$と接する直線である．直線$l$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】

(3)　$32<49<64$を利用して，$3$つの数${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}{\log }_{7}2$の大小関係を調べる．これらを小さい順に並べると，$\boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{シ}}<\boxed{\text{ス}}$となる．

　次に，${\log }_{7}1024$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とすると，$a=\boxed{\text{セ}}$である．また，$2(7^{a+b}-17)$の値を求めると，$\boxed{\text{ソ}}$となる．

【２】　コンビニエンス・ストアである商品を販売したときに最も利益が高くなるような仕入れの個数を考える．商品を販売したときの利益は$1$個につき$50$円，販売できなかったときの損失は$1$個につき$90$円とする．仕入れの個数は$20$個単位とする．

　下の表は，このコンビニエンス・ストアの過去のデータから推測される$1$日当たりの販売個数とその確率との関係を表したものである．ここでの販売個数は必ず$20$個単位になり，$180$個以上で$260$個以下である．

　この表をもとに，次の問いに答えよ．

　仕入れを$180$個としたとき，すべて販売できると期待できるので，利益は$\boxed{\text{タ}}$円となる．

　次に，仕入れを$200$個にしたとき，$180$個販売でき，$20$個販売できない確率は$5\mathrm{\%}\text{，}200$個全部販売できる確率は$95\mathrm{\%}$であるので，利益は$\boxed{\text{チ}}$円になると期待される．同様に考えて，$220$個仕入れたときの利益は$\boxed{\text{ツ}}$円，$240$個仕入れたときの利益は$\boxed{\text{テ}}$円になると期待される．

　以上のことから判断すれば，$\boxed{\text{ト}}$個の商品を仕入れたときに，最も利益が高くなり，利益$\boxed{\text{ナ}}$円が期待される．

【３】　点$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(4,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,\sqrt{6})$とし，直線$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$が交わらないことを証明せよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の距離$\mathrm{PQ}$の最小値を求め，そのときの点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OC}$上に，点$\mathrm{R}$を三角形$\mathrm{ABR}$が正三角形となるようにとるとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．