2014　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　$k$を$3$以上の自然数，$C_0$を半径$1$の円とする．$C_0$に内接する正$k$角形を$P_1\text{，}{P}_1$に内接する円を$C_1$とする．すなわち，$P_1$は$k$個の頂点すべてが円$C_0$の周上にある正$k$角形であり，$C_1$は$P_1$の$k$個の辺すべてに接する円である．以下同様に，$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$について順に，$C_{n-1}$に内接する正$k$角形を$P_n\text{，}{P}_n$に内接する円を$C_n$とする．また，すべての自然数$n$について，$P_n$の$1$辺の長さを$a_n\text{，}{P}_n$の面積を$S_n$とする．

(1)　$k=3$のとき，$a_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{S}_1=\boxed{\text{イ}}$である．$k=6$のとき，$a_1=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{S}_1=\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　各自然数$n$に対して，$a_n:a_{n+1}=1:\boxed{\text{オ}}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n=k$が成り立つとき，$k=\boxed{\text{カ}}$である．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(S_{2n-1}-S_{2n})=\boxed{\text{キ}}{S}_1$であり，$\underset{k\to \infty }{\lim }\boxed{\text{キ}}{S}_1=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$a$を$1$でない正の数とする．関数$f(x)\text{，}g(x)$を次で定める．

$f(x)=a^x+a^{-x}\text{，}g(x)=a^x-a^{-x}$

(1)　$f(x)$は$x=\boxed{\text{ケ}}$のとき最小値$\boxed{\text{コ}}$をとる．また，$a<1$のとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}=\boxed{\text{サ}}\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}=\boxed{\text{シ}}$である．

(2)

$\begin{array}{cc}\hfill {\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2& =\boxed{\text{ス}}\hfill \\ \hfill f(x+y)& =\boxed{\text{セ}}f(x)f(y)+\boxed{\text{ソ}}g(x)g(y)\hfill \\ \hfill g(x-y)& =\boxed{\text{タ}}f(x)g(y)+\boxed{\text{チ}}g(x)f(y)\hfill \end{array}$

が成り立つ．（注：$\boxed{\text{ス}}$〜$\boxed{\text{チ}}$には，$x\text{，}y$を用いない数値を入れること．）

(3)　$f^{″}(x)=f(x)$が成り立つのは，$a=\boxed{\text{ツ}}$のときである．このとき，実数$t$に対して${\displaystyle {\int }_0^t}\sqrt{4+{\{f^{\prime }(x)\}}^2}dx=\boxed{\text{テ}}$である．

【３】　座標空間において，$3$定点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{2},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,\sqrt{3})$をとり，これら$3$点から等距離にある点$\mathrm{P}(x,y,z)$をとる．このとき，$y\text{，}z$は$x$を用いてそれぞれ

$y=\boxed{\text{ト}}\text{，}z=\boxed{\text{ナ}}$

と表される．点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面上にあるのは

$x=\boxed{\text{ニ}}\text{，}y=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}z=\boxed{\text{ネ}}$

のときである．

　点$\mathrm{P}$は$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC}$を満たしながら動くものとする．このとき，$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{PA}$を半径とする球が$xy$平面と交わってできる円の面積を$S$とする．$S$は$x$を用いて$S=\boxed{\text{ノ}}$と表され，$x=\boxed{\text{ハ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ヒ}}$をとる．

【４】　$a$を実数とする．曲線

$C\text{：}y=x^3+(3-a)x^2-3x+a-2$

は$a$の値にかかわらず，$2$点

$\mathrm{P}(\boxed{\text{フ}},\boxed{\text{ヘ}})\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{ホ}},\boxed{\text{マ}})$

を通る．

　直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$が$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$以外の共有点をもたないのは，$a=\boxed{\text{ミ}}$または$a=\boxed{\text{ム}}$のときであり，どちらの場合も直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{メ}}$である．

　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線は$a\ne \boxed{\text{モ}}$のとき点$\mathrm{R}(\boxed{\text{ヤ}},\boxed{\text{ユ}})$で交わる．$a\ne \boxed{\text{モ}}$で$a$が変化するとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は曲線

$y=\boxed{\text{ヨ}}$

である．