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【4】 箱があり,どちらの箱にも,個の赤玉と個の白玉が入っているものとする.つの箱から玉を無作為につ取り出して,出た玉の色を確認して元に戻す試行を行う.ただし,回目の試行において,どちらの箱から玉を取り出すかについては,次の規則に従うものとする(は自然数).
1. のとき,箱から取り出す.
2. のとき,回目の試行で白玉が出た場合は,回目の試行と同じ箱から取り出す.赤玉が出た場合は,他方の箱から取り出す.
回目の試行において箱から赤玉を取り出す確率を箱から赤玉を取り出す確率をとする.
(1) 回目の試行において箱から白玉を取り出す確率をとする.このとき,なる関係が成り立つ.
(2) の間には次の漸化式が成り立つ.
この式からに関する漸化式が得られる.数列の一般項は,を用いて次のように書ける.
したがって,数列の一般項は
と書ける(注:はを含まない式である.)
(3) とする.回目に箱から赤玉を取り出し,かつ回目の試行(ただし)でも箱から赤玉を取り出す確率は,を用いてである.