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2014 立命館大学 情報理工学部

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【1】  a p q を実数とし,放物線 y =x2 +x+a が点 ( p,0 ) ( q,0 ) (ただし, p<q )で x 軸と交わるとする.

(1)  p q には,

p< <q

が常に成り立つ.

(2)  a=- 6 のとき, p q は,

p= q=

である.

(3)  pq -1 2 を満たす a の範囲は

a<

である.

(4)  p- 2 となる a の範囲は

a

であり,そのときの q の範囲は

q

である.

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【2】 座標空間に 4 A ( 2,0, 0) B ( 0,1, 0) C ( 0,0, 2) D (2 ,4,2 ) がある.四面体 ABCD の体積を次のように求める.

(1)  AB AC の成分はそれぞれ, AB =( , , ) AC = ( , , ) であり, ABC の面積は である.

(2) 座標空間内の平面 α に対して α 外の点 P から下ろした垂線の足を H とする. PH の長さは,平面 α に垂直な単位ベクトル(大きさが 1 のベクトル)を e 平面 α 上の任意の点を Q とするとき, e PQ を用いて, PH=| | と表される.

(3) 上記を用いて,点 D から ABC に下ろした垂線の足を E とするとき, DE の長さを求める. ABC に垂直なベクトル n は,その x 成分を a a は実数)とすると, n =(a , , ) である.よって,ベクトル n と同じ方向で x 成分が正である単位ベクトル n0 は, n0 = ( , , ) である.したがって, DE の長さは, である.

(4) 四面体 ABCD の体積は である.

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【3】 座標平面上の点が,行列 A =( -21 -3 1 ) で表される 1 次変換 f によって移る点について考える.

(1) 曲線 C1 y=x2 直線 l1 y=1 を考える.曲線 C 1 上の点 P ( t,t2 ) f により点 P ( x,y ) に移るとする. t を用いると,

{ x= y =

となる.このとき, x のとりうる値の範囲は, x である.これらから t を消去すれば,点 P は,曲線

C2 y={ t t<

上の点となることがわかる.

 また,直線 l 1 上の点 Q ( s,1 ) f により,直線 l2 y= 上の点に移される.

(2)  y= は, x= で極小値 をとる.また, y= は, x で常に増加する.

(3) 曲線 C2 直線 l 2 に囲まれる領域の面積を S とするとき, S= となる.

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【4】 箱 1 2 があり,どちらの箱にも, 3 個の赤玉と 1 個の白玉が入っているものとする. 1 つの箱から玉を無作為に 1 つ取り出して,出た玉の色を確認して元に戻す試行を行う.ただし, k 回目の試行において,どちらの箱から玉を取り出すかについては,次の規則に従うものとする( n は自然数).

1.  k=1 のとき,箱 2 から取り出す.

2.  k2 のとき, (k -1 ) 回目の試行で白玉が出た場合は, (k -1) 回目の試行と同じ箱から取り出す.赤玉が出た場合は,他方の箱から取り出す.

  k 回目の試行において箱 1 から赤玉を取り出す確率を Rk 2 から赤玉を取り出す確率を r k とする.

(1)  k 回目の試行において箱 1 から白玉を取り出す確率を W k とする.このとき, Wk= Rk なる関係が成り立つ.

(2)  Rk Rk -1 rk rk- 1 の間には次の漸化式が成り立つ.

Rk = Rk- 1+ r k-1

rk= Rk-1 + r k-1

この式から Rk- rk R k+r k に関する漸化式が得られる.数列 { Rk- rk } { Rk+ rk} の一般項は, R1 r1 を用いて次のように書ける.

Rk- rk= ( R1- r1)

Rk +rk = ( R1+ r1 )

したがって,数列 { Rk } {r k} の一般項は

Rk =

rk =

と書ける(注: R1 r1 を含まない式である.)

(3)  s2 とする. s 回目に箱 1 から赤玉を取り出し,かつ t 回目の試行(ただし t >s )でも箱 1 から赤玉を取り出す確率は, s t を用いて である.

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