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2014-14991-0101
2014 関西大学 文・経済・社会・政策創造学部
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 連立方程式
{ ( x-y) 2+ (y- z)2 +( z-x) 2=26 x2 +y2 +z2= 42x⁢ y⁢x=20
を考える.ただし, x>0 , y>0 , z>0 とする.次の をうめよ.
最初の式を計算して整理することにより,
① ⁢ (x ⁢y+y⁢ z+z⁢x )+ ② ⁢ (x 2+y2 +z2 )=26
となる.よって, x⁢y+ y⁢z+ z⁢x の値は ③ となる.また,
( x+y+ z) 2=x 2+y 2+z 2+ ④ ⁢ (x ⁢y+y ⁢z+z⁢ x)
と与えられた条件により, x+y+ z の値は ⑤ となる.
したがって, t に関する 3 次式 ( t-x) ⁢(t -y) ⁢(t -z) を計算すると, t だけの式となり, ⑥ となる.
x<y< z を満たす解は ( x,y,z )= ⑦ である.
2014-14991-0102
【2】 ▵ABC において,辺 BC , CA ,AB の長さはそれぞれ a =13 ,b= 2⁢5 , c=5 である.次の をうめよ.
(1) cos⁡A = ① , sin⁡A = ② であり, ▵ABC の面積は ③ である.
(2) 各辺の長さが ▵ ABC の各辺の長さの 2 倍であるような三角形の面積は ④ である.
自然数 n に対して,各辺の長さが ▵ ABC の各辺の長さの 2 n-1 倍であるような三角形の面積を S n とおく.このとき log2⁡ Sn は n を用いて ⑤ と表される. S=S 1+S 2+⋯ +Sn は n を用いて ⑥ と表される.また, S>2 26 となる最小の自然数 n は ⑦ である.
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【3】 xy 平面上で原点 O , 点 A ( 1,0) ,B ( 1,1 ) を頂点とする三角形 OAB を考える. xy 平面上の点 P ( x,y ) に対して, p=x+ y ,q =x⁢y とおく.次の問いに答えよ.
(1) P (x ,y) が ▵ OAB の辺全体を動くとき,点 ( p,q ) が描く曲線を求めて解答欄の p q 平面に図示せよ.
(2) (1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積を求めよ.