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2014-14991-0201
2014 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月2日実施
個別日程
易□ 並□ 難□
【1】 p を 2 以上の整数とする.次の問いに答えよ.
(1) x>0 のとき,不等式
xp+ p-1≧ p⁢x
が成り立つことを示せ.
(2) a>0 , b>0 のとき,不等式
ap +( p-1) pp- 1≧ p⁢a⁢ b
(3) p=3 とする.(2)の不等式において等式が成立するとき, a を b を用いて表せ.
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【2】 a を正の定数とする.中心の座標が ( 1,a, -a2 ) の球面が x y 平面に接しているとする.
次の をうめよ.
(1) この球面の方程式を a を用いて表すと,
( x-1) 2+ (y- a) 2+ ( ① ) 2= ②
である.
(2) この球面がさらに x z 平面と共有点をもつための a の値の範囲は ③ である.
(3) xy 平面と接しているこの球面がさらに x z 平面と共有点をもち,その共有点の全体が半径 2 の円になっているとする.このとき,この球面の方程式は
( x-1) 2+ (y- ④ ) 2+ ( ⑤ )2 = ⑥
となる.
この球面の内部も含めた球の体積は ⑦ である.また,この球が x z 平面で切りとられる小さい方の部分の体積は ⑧ 3 ⁢ π である.
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【3】 座標平面上の曲線 C が媒介変数 t を用いて,
x=1- cos⁡t ,y= 2-sin⁡ 2⁢t ,0 ≦t≦π
と表示されている.次の問いに答えよ.
(1) 0<t <π の範囲で, d ⁢yd x を t の関数として表せ.
(2) 0<t <π の範囲で, d⁢y dx =0 を満たす t の値をすべて求めよ.また,そのときの x の値を求めよ.
(3) 曲線 C の概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.
(4) 曲線 C と直線 x =2 ,x 軸,および y 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 条件
a1 =1 , an+ 1a n+1 +1 =a n1+ 4⁢n⁢ an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
によって定められる数列 { an } の一般項は an= ① である.また, limn →∞ n2 ⁢an = ② である.
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(2) 座標空間において,実数 t を用いて座標が ( cos⁡( π⁢t 2) ,sin⁡ (π⁢ t2) ,t) と表される点で,球面 x2+ y2+ z2=4 上にあるものは 2 点ある. t の値が小さい方の点を P ,t の値が大きい方の点を Q とする.ベクトル OP → と OQ → のなす角を θ とするとき, cos⁡θ = ③ である.
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(3) TAKOYAKI の 8 文字を 1 列に並べるとき,すべての並び方は ④ 通りある.また,同じ文字が隣り合わない並べ方は ⑤ 通りある.
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(4) E=( 1 00 1 ), J=( 0 11 0 ) とおく. A=a⁢ E+b⁢ J とするとき,
A2 =( 1312 12 13)
を満たす正の数の組 ( a,b ) を求めると, (a ,b) = ⑥ である.ただし, a>b とする.
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(5) 1 2⁢ sin⁡ x2 + ∑k =1n cos⁡( k⁢x) ⁢sin⁡ x2= 12 ⁢ sin⁡( ⑦ ) である.