2014　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$x>0$のとき，不等式

$x^p+p-1\geqq px$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$のとき，不等式

$a^p+{(p-1)}^{\frac{p}{p-1}}\geqq pab$

が成り立つことを示せ．

(3)　$p=3$とする．(2)の不等式において等式が成立するとき，$a$を$b$を用いて表せ．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　この球面の方程式を$a$を用いて表すと，

${(x-1)}^2+{(y-a)}^2+{(\boxed{\text{①}})}^2=\boxed{\text{②}}$

である．

(2)　この球面がさらに$xz$平面と共有点をもつための$a$の値の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　$xy$平面と接しているこの球面がさらに$xz$平面と共有点をもち，その共有点の全体が半径$\sqrt{2}$の円になっているとする．このとき，この球面の方程式は

${(x-1)}^2+{(y-\boxed{\text{④}})}^2+{(\boxed{\text{⑤}})}^2=\boxed{\text{⑥}}$

となる．

　この球面の内部も含めた球の体積は$\boxed{\text{⑦}}$である．また，この球が$xz$平面で切りとられる小さい方の部分の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑧}}}{3}}\pi$である．

$x=1-\cos t\text{，}y=2-\sin 2t\text{，}0\leqq t\leqq \pi$

と表示されている．次の問いに答えよ．

(1)　$0<t<\pi$の範囲で，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の関数として表せ．

(2)　$0<t<\pi$の範囲で，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$を満たす$t$の値をすべて求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$の概形を解答欄の座標平面上にかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．

(4)　曲線$C$と直線$x=2\text{，}x$軸，および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$a_1=1\text{，}{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}}={\displaystyle \frac{a_n}{1+4n{a}_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{①}}$である．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{a}_n=\boxed{\text{②}}$である．

$A^2=\left(\begin{array}{cc}13& 12\\ 12& 13\end{array}\right)$

を満たす正の数の組$(a,b)$を求めると，$(a,b)=\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，$a>b$とする．