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2014-14991-0301
2014 関西大学 社会・政策創造・外国語・人間健康・社会安全学部
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 π 2≦θ ≦ 3⁢π 2 のとき,関数
f⁡( θ)= 2⁢sin3 ⁡θ- 8⁢sin⁡ θ⁢cos⁡ θ+2⁢ cos3⁡ θ
の最大値を求める.次の をうめよ.
t=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおく.
sin⁡θ +cos⁡θ = ① ⁢ sin⁡ (θ- ② ) (ただし, 0≦ ② ≦ 2⁢π )
だから, t のとりうる値の範囲は ③ となる.
( sin⁡θ +cos⁡θ )2 =1+ ④ ⁢ sin⁡ θ⁢cos⁡ θ,
sin3⁡ θ+cos 3⁡θ =( sin⁡ θ+cos⁡ θ) 3- ⑤ ⁢ sin⁡ θ⁢cos⁡ θ⁢( sin⁡θ+ cos⁡θ )
より, f⁡( θ) を t で表すと, ⑥ となる.よって, f⁡( θ) の最大値は ⑦ である.
2014-14991-0302
2014 関西大 社会・政策創造・外国語・人間健康・社会安全学部
【2】 次の をうめよ.
n を自然数とする. xy 平面において, 0≦x <n ,x 2≦y <n2 であって x , y が整数である点 ( x,y ) の個数を a n とする. a1 ,a 3-a 2 を求めると,
a1= ① ,a 3-a2 = ②
である. n2 ≦y< (n +1) 2 を満たす整数 y の個数は ③ 個であるから, an +1- an を n で表すと,
an+ 1- an= ④
である.これより a n は n を用いて an= ⑤ ⋅ (4⁢ n-1 ) と表すことができる.このとき
∑ k=1 n 4⁢ k-1a k= 3 a1 +7 a2 +⋯+ 4 ⁢n-1 an = ⑥
である.
2014-14991-0303
【3】 円 x2+ y2- 2⁢y= 0 と直線 a ⁢x-y +2⁢a =0 が異なる 2 点 P ,Q で交わる.次の問いに答えよ.
(1) 円の中心の座標と半径を求めよ.
(2) 定数 a のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) PQ の長さが 2 となる a の値を求めよ.