2014　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　$f(x)=x^3+5x^2+3x-9$とし，曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$f(x)$は$x=\boxed{\text{②}}$で極大値$\boxed{\text{③}}$をとり，$x=\boxed{\text{④}}$で極小値$\boxed{\text{⑤}}$をとる．

(3)　$k$を定数とするとき，直線$y=k$と曲線$C$が異なる$3$点で交わるときの$k$の範囲は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{4}{3}}$かつ$0<\alpha <\pi$であるとき，$\sin \alpha =\boxed{\text{①}}\text{，}\cos \alpha =\boxed{\text{②}}$である．また，$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\boxed{\text{③}}\text{，}\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\boxed{\text{④}}$である．

　$a\text{，}b$を定数とする．関数

$f(x)=a\sin x+b\cos x\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

が$x={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$で最大値$2\sqrt{5}$をとるとき，$a=\boxed{\text{⑤}}\text{，}b=\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面に点$\mathrm{P}(2,6)$をとり，点${\mathrm{Q}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}=(1,2)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_{n+1}}=3\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_n}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=3\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{R}{\mathrm{Q}}_{n+1}}$を$\overrightarrow{\mathrm{R}{\mathrm{Q}}_n}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{RO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{R}{\mathrm{Q}}_1}$のなす角を$\theta$とする．$\sin \theta$の値を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OR}{\mathrm{Q}}_n$の面積を$n$を用いて表せ．