2014　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円の弧$C$の上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$への垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，$\angle \mathrm{APH}$の二等分線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2\text{，}\angle \mathrm{APH}=2\theta$であるとする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AP}=2\sin 2\theta \text{，}\mathrm{PH}=2\sin 2\theta \cos 2\theta$であることを示せ．

(2)　$\mathrm{DH}=\mathrm{PH}\tan \theta$であることを用いて，$\mathrm{DH}$を$\sin \theta$のみを用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くときの$\mathrm{DH}$の最大値とその時の$\theta$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$が次の関係を満たしている．

$f(x)=x^2+x{\displaystyle {\int }_0^1}f(f(t)dt-{\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{\prime }(t)dt$

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$f(x)=0$の解を求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$の正七角形$\mathrm{ABCDEFG}$を考える．最初，動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はともに頂点$\mathrm{A}$上にある．今，大小$2$つのサイコロを同時に投げ，動点$\mathrm{P}$は大きなサイコロの出た目の数だけ時計回りに頂点を進み，動点$\mathrm{Q}$は小さなサイコロの出た目の数だけ反時計回りに頂点を進むとする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　サイコロを同時に$1$回投げるとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点上にある確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　サイコロを同時に$1$回投げるとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$1$になる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　サイコロを同時に$1$回投げるとき，正七角形の辺に沿った$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$2$になる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　サイコロを同時に$1$回投げるとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が二等辺三角形の頂点となる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　サイコロを同時に$1$回投げ，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が進む．その後，もう$1$度サイコロを投げるとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同じ頂点上にある確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．ただし，$2$回目は$1$回目に進んだ位置から進むものとする．

【４】　$1$と異なる正の実数$x$に対して，不等式

${\log }_x(3x^2-5x+2)\geqq 2\cdots$(ア)

を考える．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x>1$のとき，不等式(ア)を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$x<1$のとき，不等式(ア)を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$x>1$のとき，不等式(ア)を満たすすべての$x$に対して

$x^3-ax\geqq 2x^2$

となる$a$の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$x<1$のとき，不等式(ア)を満たすすべての$x$に対して

$x^3-bx\leqq 2x^2$

となる$b$の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．