2014　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}dx=-{\displaystyle \frac{\log x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$を利用して，不定積分

$I={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x^2}}dx$

を求めよ．ただし，$C$は積分定数とする．

(2)　$x>0$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}}-\log x\geqq 0$

を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x^2}}dx$を求めよ．

　第$1$象限において動点$\mathrm{Q}$を，原点を中心とする半径$1$の円の内部にとり，$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(1,0)$とする．$\angle \mathrm{OPQ}=\theta \text{，}$$r=\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を成分表示すると，$(\boxed{\text{①}},\boxed{\text{②}})$となる．$k=\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$とおくと，$r$と$\theta$を用いて，$k=\sqrt{\boxed{\text{③}}}$と表される．$1-k^2=(\boxed{\text{④}})r$であるから，点$\mathrm{Q}$が角$\theta$を一定に保ったまま$\mathrm{P}$に近づくときの比${\displaystyle \frac{r}{1-k}}$の極限は$\theta$の関数として$f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{⑤}}}}$と表される．このとき，$\underset{\theta \to 0}{\lim }f(\theta )=\boxed{\text{⑥}}$であり，$f(\theta )<2\sqrt{2-\sqrt{3}}$を満たす$\theta$の範囲は$\boxed{\text{⑦}}$である．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(3t^2-4t+1)e^{g(t)}dt$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を$g(x)$を用いて表せ．

(2)　すべての$x$について

$f(x)+e^{-\frac{1}{27}}=e^{g(x)}$

が成り立つとき，$g(x)$を求めよ．

(3)　(2)の条件が成り立つとき，関数$f(x)$の極値を求めよ．

$\{\begin{array}{l}x(x-2y-1)=0\\ y(2x-y-1)=0\end{array}$

の解$(x,y)$の個数は$\boxed{\text{②}}$個である．