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2014-14991-1101
2014 関西大学 全学部日程
法・文・商・社会・政策創造・総合情報(3教科)・社会安全学部
2月8日実施
易□ 並□ 難□
【1】 原点を O ( 0,0, 0) とする座標空間内の 3 点 A ( 1,2, 0) ,B ( 1,0, 1) ,C ( -5,4, 2) を考える.次の問いに答えよ.
(1) OA→ と OB → のなす角を θ とするとき, cos⁡θ を求めよ.
(2) 3 点 O ,A , B の定める平面を α とする.点 H は α 上にあり,直線 CH は α に直交している.このとき, OH→ =s⁢ OA→ +t⁢ OB→ を満たす実数 s , t を求めよ.
(3) 4 点 O ,A , B , C を頂点とする四面体の体積を求めよ.
2014-14991-1102
【2】 次の漸化式によって定義される数列 { an } を考える.
a1 =1 2 ,a n= 1 +an -1 2 ( n= 2 ,3 , 4 ,⋯ )
次の をうめよ.
(1) a1 は実数 θ1= ① ( 0≦θ 1< π2 ) を用いて a1= cos⁡θ 1 と表され, a2 は実数 θ2= ② (0 ≦θ2 < π2 ) を用いて a 2=cos ⁡θ2 と表される.
(2) 一般に,実数 θ に対して, cos2 ⁡θ は cos ⁡2⁢θ を用いて cos2⁡ θ= ③ のように表されるから,
an= cos⁡( ④ ) ( n=1 ,2 ,3 , ⋯ )
であると推測される.数学的帰納法により,この推測が正しいことがわかる.
さて,
2⁢cos ⁡( ④ ) ⁢sin⁡ ( ④ ) =sin⁡ ( ⑤ )
と書けることに注意して,同様の計算を繰り返し行うと,
2n ⁢a1 ⋅a2 ⋅a3 ⋅⋯⋅ an⋅ sin( ④ ) = ⑥
であることがわかる.よって,
a1⋅ a2⋅ a3⋅ ⋯⋅a n= ⑥ 2n ⁢sin⁡ ( ④ )
である.
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【3】 y2 =4⁢ x4+ 221 を満たす自然数 x , y を求める.次の を自然数または a に関する式でうめよ.
(1) 自然数 m , n に対して, 2m -1=n 2 が成立したとする. 2m は偶数だから, n は奇数となる.よって,ある自然数 r を用いて n =2⁢r -1 と表せる.このとき,
2m =2⁢ (2⁢ r2- ① ⁢ r+1 )
が成立する.もし, 2⁢r 2- ① ⁢ r が 0 でなければ, 2m がある 1 より大きい奇数で割り切れることになり,矛盾する.したがって, m=n = ② となる.
(2) y2 -4⁢ x4 を因数分解すると ( y+ ③ ⁢ x2 )⁢ (y- ③ ⁢ x2 ) となる. y+ ③ ⁢ x 2 は 2 21 の正の約数だから,ある 0 以上の整数 a を用いて y + ③ ⁢ x2= 2a と表せる.このとき, y- ③ ⁢ x2 =2 ④ が成立する.よって,
2⋅ ③ ⁢ x2= 2 ④ ⁢( 2 ⑤ -1 )
が成立する.一般に最大公約数が 1 である自然数 u , v に対して, u⁢v がある自然数の 2 乗になるならば, u ,v それぞれがある自然数の 2 乗になる.したがって,(1)より, x=2 ⑥ ,y =3⋅ 2 ⑦ と求まる.