2014　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\mathrm{O}$を座標平面の原点，$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}\cdots$を次の(1)〜(3)を満たすように選んでおく．

(1)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$は$y$座標が正となる$y$軸上の点で，${\mathrm{A}}_1$の$y$座標は$1$である．

(2)　${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}\cdots$は$x$座標が正となる$x$軸上の点である．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$\angle \mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n=\angle \mathrm{O}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}=\theta$である．

このとき，${\mathrm{A}}_4$の$y$座標は$\boxed{\text{①}}\text{，}{\mathrm{B}}_4$の$x$座標は$\boxed{\text{②}}$で，${\mathrm{A}}_n$の$y$座標は$\boxed{\text{③}}\text{，}{\mathrm{B}}_n$の$x$座標は$\boxed{\text{④}}$となる．線分${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の長さを$l_n$とおくと，$l_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{\cos \theta }}$で，$\theta$のとりうる値の範囲が$\boxed{\text{⑥}}$のとき，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{l}_n$は収束し，その和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑦}}}{\cos 2\theta }}$となる．

【２】　$\left|x\right|<1$に対して，$f(x)=\log \left({\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\right)$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)$の導関数および第$2$次導関数はそれぞれ

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{1-x^2}}\text{，}{f}^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{{(1-x^2)}^2}}$

である．

　$f(x)$の不定積分は

${\displaystyle \int }f(x)dx=x\log \left({\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\right)+\log (\boxed{\text{③}})+C$

である．ただし，$C$は積分定数である．

　$n$を自然数とすると，方程式$f(x)=(n+2)x$は正の解$x_n$を$1$つもつ．第$1$象限において直線$y=(n+2)x$と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_n$とおくと，$S_n$は$n$と$x_n$を用いて

$S_n=(\boxed{\text{④}})x_n-(\boxed{\text{⑤}}){x_n}^2-2\log (1+x_n)$

と表される．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\boxed{\text{⑥}}$であるから，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}=\boxed{\text{⑦}}$

である．

【３】　正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$0<p<1$とし，辺$\mathrm{CA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{BF}$と線分$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{H}$とし，線分$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ADE}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\mathrm{GH}:\mathrm{HC}=x:(1-x)$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$p\text{，}x$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{①}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．また，$\mathrm{FH}:\mathrm{HB}=y:(1-y)$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$p\text{，}y$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=y\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{②}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

とも表される．よって，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$p$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{p^2-p+1}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{p^2-p+1}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．

　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AH}}$と$p$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{⑤}}\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{AH}}$

と表される．$0<p<1$の範囲で$p$が動くとき，$\boxed{\text{⑥}}$の値の範囲は

$\boxed{\text{⑦}}<\boxed{\text{⑥}}\leqq \boxed{\text{⑧}}$

である．特に，$\boxed{\text{⑥}}$の値は$p=\boxed{\text{⑨}}$のとき，最大値$\boxed{\text{⑧}}$をとる．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　方程式$2^{3x}-3\cdot 2^{2x+1}=5\cdot 2^x-30$の解は$x=\boxed{\text{①}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　${(x+iy)}^2=i$を満たす実数の組$(x,y)$をすべて求めると，$(x,y)=\boxed{\text{②}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$a$を定数，$b$を$0$でない定数とする．等式

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a+b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}l& m\\ n& {(l+m)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}l& m\\ n& {(l+m)}^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a+b\end{array}\right)$

を満たす$l\text{，}m\text{，}n$の組$(l,m,n)$のうち，$l\text{，}m\text{，}n$のすべてが$0$以上の整数となるものの個数は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　方程式$|x^2-9|=3x+k$が異なる$4$つの実数解をもつとき，定数$k$のとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{④}}<k<\boxed{\text{⑤}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^2}}{\sin }^{2}tdt=\boxed{\text{⑥}}$である．