2014　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}A=120\mathrm{°}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の面積の値は$▵\mathrm{ABC}=\boxed{\text{ア}}$である．辺$\mathrm{BC}$の長さの値は$\mathrm{BC}=\boxed{\text{イ}}$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，線分$\mathrm{AH}$の長さの値は$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\cos B$の値は$\cos B=\boxed{\text{エ}}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{K}$を$\angle \mathrm{BAK}=60\mathrm{°}$であるようにとる．線分$\mathrm{KH}$の長さの値は$\mathrm{KH}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に数字$1\text{，}2\text{，}3$が記された玉がそれぞれ$1$個ずつ，合計$3$個入っている．この中から$1$個の玉を取り出して，記された数字を確認し袋にもどすことを$4$回繰り返す．得られた$4$個の数の和を$S\text{，}$積を$X$とする．$S=5$である確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$S=6$である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．$X$が$2$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．$X$が$4$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$X$が$6$で割り切れる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)(ⅰ)　実数$x$に対して$t=x^2+2x$とおく．$t$の取り得る値の範囲は

$t\geqq \boxed{\text{ア}}$

である．$x$の関数

$y=-x^4-4x^3-2x^2+4x+1$

を$t$の式で表すと$y=\boxed{\text{イ}}$である．以上より，$y$は$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$で最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅱ)　$a$を実数とする．$x$の関数

$y=-x^4-4x^3+(2a-4)x^2+4ax-a^2+2$

の最大値が(ⅰ)で求めた値$\boxed{\text{オ}}$であるとする．このとき$a$のとり得る値の範囲は$a\geqq \boxed{\text{カ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$を満たし，$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}>0$であるとする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$\boxed{\text{キ}}\mathrm{°}$である．ベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表すと

$\overrightarrow{c}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{b}$

である．$s\text{，}t$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{x}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}$が$0\leqq \overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}\leqq 1\text{，}$$0\leqq \overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{c}\leqq 1$を満たすとする．このとき，内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{b}$は$s=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{サ}}$のときに最小値$\boxed{\text{シ}}$をとる．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において放物線$y=x^2+x+2\text{，}x$軸，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{{({\displaystyle \frac{k}{n}})}^2+\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)+2\}{\displaystyle \frac{1}{n}}$

を$n$の式で表せ．

(3)　(1)の$S$と(2)の$S_n$において$S_n-S<{\displaystyle \frac{1}{10}}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．