2014　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x$の$2$次方程式$x^2-(2a+2)x+2a^2+a-1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような実数の定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．これらの実数解を$\alpha \text{，}\beta$とすると，${(\alpha -\beta )}^2=\boxed{\text{イ}}$（$\boxed{\text{イ}}$は$a$の多項式）と表される．したがって，$a$が$\boxed{\text{ア}}$の範囲を動くとき，${(\alpha -\beta )}^2$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　実数$x\text{，}y$が等式

${\log }_{10}y=2{\log }_{10}(3-x)-{\log }_{10}(2-x)\cdots$(＊)

を満たすとする．右辺の$2$つの対数がともに定義されるための条件は$x<\boxed{\text{エ}}$である．(＊)を$y$について解くと，$y=\boxed{\text{オ}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}$（$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$は$x$の$1$次式）となる．$y$の値が最小になるときの$x$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　関数$f(x)=\tan 2x$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ク}}$である．また，曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{8}},f({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\left)\right)$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{ケ}}x+\boxed{\text{コ}}$（$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は定数）である．

【２】　座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-2,0)$があり，点$\mathrm{P}(x,y,z)$が

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$

を満たしながら動いている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が満たす方程式を求めよ．また，$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を$y$のみの式で表せ．

(3)　$2$つのベクトルの大きさの積$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$の最大値と最小値を求めよ．また，最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{C}(0,3)$をとり，$\theta$を$0<\theta <\pi$を満たす実数とする．$\mathrm{AP}=1\text{，}\angle \mathrm{OAP}=\theta$を満たす第$2$象限内の点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{BQ}=1\text{，}\angle \mathrm{QBC}=\theta$を満たす第$1$象限内の点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$\cos \theta \text{，}\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離の最大値・最小値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．また，$S$の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　$1$以上の整数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle \frac{(2n+1)!}{{(n!)}^2}}\text{，}{J}_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{n}dx\text{，}{K}_n=a_n{J}_n$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を$n$の式で表せ．

(2)　$K_1\text{，}{K}_2$を求めよ．また，${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{(1-x^2)}^{n}dx$を$J_{n+1}$と$J_n$を用いて表せ．

(3)　$J_{n+1}={\displaystyle {\int }_0^1}{(x)}^{\prime }{(1-x^2)}^{n+1}dx$に部分積分法を適用して，$J_{n+1}$を$J_n$を用いて表せ．また，${\displaystyle \frac{K_{n+1}}{K_n}}$を求めよ．

(4)　$K_n$と$J_n$を$n$の式で表せ．

(5)　$L_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}{}_{n}C_k={}_{n}C_0-{\displaystyle \frac{1}{3}}{}_{n}C_1+{\displaystyle \frac{1}{5}}{}_{n}C_2-{\displaystyle \frac{1}{7}}{}_{n}C_3+\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{2n+1}}{}_{n}C_n$とおく．このとき，$L_n$が$J_n$に等しいことを示せ．