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2014-15113-0301
2014 関西学院大学 文系学部全学日程
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) x についての不等式 | 4⁢x- 3|> 7 を解くと x < ア , x> イ である.また不等式
(x- 1) ⁢( |4⁢ x-3 |-7 )>0
を解くと ウ <x< エ , x> オ である.
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(2)(ⅰ) 袋 A に赤玉 3 個と白玉 1 個,袋 B には赤玉 1 個と白玉 3 個が入っている. A から玉を 1 個取り出し B に入れ,よくかきまぜた後 B から 1 個玉を取り出し A に入れる試行を行う.このとき A の中の赤玉の個数を X とする. X=2 となる確率は カ , X=3 となる確率は キ , X=4 となる確率は ク である.したがって X の期待値は ケ である.
(ⅱ) (ⅰ)の試行の後,もう一度 A から玉を 1 個取り出し B に入れ,よくかきまぜた後 B から 1 個玉を取り出し A に入れる.このとき A の中の赤玉の個数が 1 である確率は コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 関数
y=-8 ⁢sin⁡θ ⁢cos2 ⁡θ+3 ⁢cos⁡2 ⁢θ+8 ⁢sin⁡θ ( 0≦ θ≦π )
を考える. t=sin⁡ θ とおく. y を t の整式で表すと y = ア である. y は θ = イ , θ= ウ で最小値 エ をとる.ただし イ < ウ とする.また a が エ <a<3 を満たすとき,方程式
-8⁢ sinθ⁢ cos2⁡ θ+3⁢ cos⁡2⁢ θ+8⁢ sin⁡θ= a
は 0 <θ≦π の範囲で オ 個の解をもつ.
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(2) 座標空間の 2 点 O ( 0,0,0 ), A (-1 ,1,0 ) を通る直線上に点 P をとると
OP→ =s⁢ OA→ =(- s,s, 0)
となる実数 s がある.また, 2 点 B ( 3,0, -1) ,C ( 4,0, 0) を通る直線上に点 Q をとると
BQ→ =t⁢BC →
となる実数 t がある.このとき PQ → の成分を s と t を用いて表すと
PQ→ =( カ , キ , ク )
である.条件
PQ→ ⊥OA → ,PQ →⊥ BC→
が成り立つのは, s ,t が s = ケ ,t = コ の値をとるときである.また,このとき cos ⁡∠POQ の値は cos ⁡∠POQ = サ である.
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【3】 p を実数とし f ⁡(x )=2 ⁢x3 +2⁢p ⁢x2 +1 とおく.次の問いに答えよ.
(1) xy 平面において y =f⁡( x) のグラフが x 軸と 2 個の共有点をもつような p の値を求め,そのときの 2 個の共有点の x 座標 α , β を求めよ.ただし, α< β とする.
(2) α ,β は(1)で求めた値とする. xy 平面において
y=( x-α) ⁢(x -β) ( α≦x≦ β ),
y=2⁢ (x -α) 2 ( α≦x≦ β )
および
y=2⁢ (x -β) 2 ( α≦ x≦β )
の 3 つの関数のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ.