2014　関西学院大　教育(理系)，総合政策，理工学部個別日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y=2{\sin }^{2}x+2\cos x+1\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$は$x=\boxed{\text{ア}}$のとき最大値$\boxed{\text{イ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき最小値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$10$本のくじがある．そのうち当たりくじは$1$等が$1$本，$2$等が$3$本であり，残りははずれくじである．これらのくじから同時に$3$本を引く．当たりくじを少なくとも$1$本引く確率は$\boxed{\text{オ}}$である．$1$等，$2$等，はずれくじをそれぞれ$1$本ずつ引く確率は$\boxed{\text{カ}}$である．引いた$3$本の中に$2$等が$2$本以上ある確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　整数$a\text{，}b$を係数とする$2$次式

$P(x)=x^2+ax+b$

が$x+2+\sqrt{2}$で割り切れるとすると，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，

$Q(x)=(x-c)P(x)$

を$x+1$で割ったときの余りが$2$であるとすると，定数$c$の値は$c=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$がある．線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{P}(x,y,z)$が

$4(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3t\overrightarrow{\mathrm{BP}}+t\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を，それぞれ$t$の式で表せ．

(4)　$▵\mathrm{OPC}$の面積$S$を$t$の式で表せ．また，$S$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　$r$を$1$でない定数とする．漸化式

$a_1=0\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=(r+1)a_{n+1}-r{a}_n+1\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_1$を求めよ．また$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$r=2$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$f(x)=-x\log x\text{（}x>0\text{）}$とおき，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f(x)$の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$l$と$y$軸との交点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}(0,f(t))$を考える．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するような$t$の値を$a$とするとき，$a$を求めよ．

(4)　$0<t<a$のとき$▵\mathrm{PQR}$を直線$\mathrm{PR}$の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(t)$とする．このとき，$V(t)$の極値とそのときの$t$の値を求めよ．