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2014-15113-0701
2014 関西学院大学 文系関学独自方式
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) f⁡( x)= |x-1 |+ |1- 43 ⁢ x| とする.
(ⅰ) 方程式 f ⁡(x )=1 の解は x = ア , イ である.ただし ア < イ とする.
(ⅱ) 1 2≦x ≦1 の範囲において f ⁡( x) の最大値は ウ , 最小値は エ である.
(ⅲ) 不等式
f⁡( x)≧ x+a
がすべての実数 x に対して成り立つような実数 a の取り得る値の範囲は a ≦ オ である.
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(2) バスケットボールの 2 チーム A ,B が,先に 4 勝した方が優勝するというルールの下で,優勝チームが決まるまで繰り返し試合を行うとする.各試合で A チームが B チームに勝つ確率は 12 であり,引き分けはないものとする. 4 試合目で A チームの優勝が決まる確率は カ である. 4 試合目で優勝チームが決まる確率は キ である. 5 試合目で優勝チームが決まる確率は ク である. 6 試合目で優勝チームが決まる確率は ケ である.優勝チームが決まるまでに行われる試合数の期待値は コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) xy 平面において放物線 y =2⁢x -x2 を C とし, a を実数とする.直線 y =2⁢a ⁢x と C が原点 O 以外の共有点 P をもち,点 P の y 座標の値が正であるとする. a のとり得る値の範囲は 0 <a< ア である.また 0 <a< ア であるとき直線 y =a⁢x と C との O 以外の共有点を Q とし,直線 x =1 に関して Q と対称な点を R とする.点 R が直線 y =2⁢a ⁢x 上にあるとすると a = イ である.
以下, 0<a< イ とする. ▵OPR の面積 S を a の式で表すと
S= ウ
である. S は a = エ のとき最大値をとる.
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(2) ▵OAB において, OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく. ▵OAB の重心を G , 辺 AB を 2 :3 に内分する点を P とするとき, OG→ と OP → を a → と b → を用いて表すと, OG→ = オ , OP→ = カ である.さらに, |a →| =3 , | b→ |=5 とし, a→ と b → の内積 a→ ⋅b→ は a→⋅ b→ =6 とする.点 B から辺 OA に下ろした垂線 BQ と線分 OP との交点を R とする.このとき, OQ→ , OR→ を a → , b → を用いて表すと, OQ→ = キ , OR→ = ク となり, |OR → | の値は | OR→ |= ケ である.
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【3】 p を正の実数とする. xy 平面において y =2⁢x -x2 のグラフを C , y=p ⁢(1 -|x -1| ) のグラフを D とする.次の問いに答えよ.
(1) C と D の共有点の個数を求めよ.
(2) 1<p <2 とする. C と D によって囲まれる 3 つの部分の面積の和 S ⁡(p ) を求めよ.
(3) 1<p <2 の範囲において S ⁡(p ) を最小にする p の値とそのときの S ⁡(p ) の値を求めよ.