2014　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$f(x)=|x-1|+|1-{\displaystyle \frac{4}{3}}x|$とする．

(ⅰ)　方程式$f(x)=1$の解は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$である．ただし$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1$の範囲において$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅲ)　不等式

$f(x)\geqq x+a$

がすべての実数$x$に対して成り立つような実数$a$の取り得る値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　バスケットボールの$2$チーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が，先に$4$勝した方が優勝するというルールの下で，優勝チームが決まるまで繰り返し試合を行うとする．各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，引き分けはないものとする．$4$試合目で$\mathrm{A}$チームの優勝が決まる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．$5$試合目で優勝チームが決まる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．$6$試合目で優勝チームが決まる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．優勝チームが決まるまでに行われる試合数の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面において放物線$y=2x-x^2$を$C$とし，$a$を実数とする．直線$y=2ax$と$C$が原点$\mathrm{O}$以外の共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$の$y$座標の値が正であるとする．$a$のとり得る値の範囲は$0<a<\boxed{\text{ア}}$である．また$0<a<\boxed{\text{ア}}$であるとき直線$y=ax$と$C$との$\mathrm{O}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とし，直線$x=1$に関して$\mathrm{Q}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$が直線$y=2ax$上にあるとすると$a=\boxed{\text{イ}}$である．

以下，$0<a<\boxed{\text{イ}}$とする．$▵\mathrm{OPR}$の面積$S$を$a$の式で表すと

$S=\boxed{\text{ウ}}$

である．$S$は$a=\boxed{\text{エ}}$のとき最大値をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{カ}}$である．さらに，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=6$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{ク}}$となり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|$の値は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\boxed{\text{ケ}}$である．

【３】　$p$を正の実数とする．$xy$平面において$y=2x-x^2$のグラフを$C\text{，}y=p(1-|x-1|)$のグラフを$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$D$の共有点の個数を求めよ．

(2)　$1<p<2$とする．$C$と$D$によって囲まれる$3$つの部分の面積の和$S(p)$を求めよ．

(3)　$1<p<2$の範囲において$S(p)$を最小にする$p$の値とそのときの$S(p)$の値を求めよ．