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2014-15113-0801
2014 関西学院大学 理系関学独自方式
2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 2 つの複素数 α =1+p⁢ i, β=q +r⁢i ( p , q ,r は実数, i は虚数単位)が α +β=5 ⁢i を満たし, α⁢β の虚部は 9 であるとする.このとき p = ア , r= イ である.また, 1 α= s+t⁢ i ( s , t は実数)とするとき s2+ t2= ウ である.
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(2) 実数 t に対して a→= (-2 ⁢t+1 ,t-3 ,5) とおくと, |a → | は t = エ のとき最小値 オ をとる.また, t がどんな値であっても a → と b→= (x, y,1 ) は垂直であるとすると, y= カ である.
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(3) 関数 f ⁡(x )=a ⁢x+b ( a , b は定数で a ≠0 )の導関数は f ′⁡( x)= キ である. f⁡( 3)= 3, f′( 3)= 1 のとき a = ク , b= ケ である.また,これらの a , b の値に対して, f⁡( x) の不定積分は ∫ f⁡( x)⁢ dx= コ +C である.ただし, C は積分定数である.
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【2】 xy 平面において,方程式 x2+ y2-6 ⁢y=0 で表される円 C と,点 ( 0,-1 ) を通り傾き a ( a は正の定数)の直線 l が 2 点 A ,B で交わるとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 円 C の中心から直線 l までの距離を a を用いて表せ.
(2) 線分 AB の長さが 185 であるとき, a の値を求めよ.
(3) a は上の(2)で求めた値をとるものとする.また, 2 点 A ,B および点 P ( 1,1 ) を通る円を C ′ とする.このとき,円 C ′ の方程式と sin ⁡∠APB を求めよ.
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【3】 袋の中に白玉 1 個と赤玉 2 個が入っている.この袋から 1 個の玉を取り出して元に戻す操作を n 回繰り返す. k 回目に白玉が出れば ak=1 , 赤玉が出れば ak= 2 とする.和 a1+ a2+ ⋯+a n を S n とおき, Sn が偶数となる確率を p n とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) p1 , p2 , p3 を求めよ.
(2) pn+ 1 を p n を用いて表せ.
(3) pn を n を用いて表せ.
(4) limn →∞ pn を求めよ.
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【4】 正の定数 p に対して, f⁡( x)= x x2+ p とする.曲線 y =f⁡( x) の原点における接線と直線 y =-3⁢ x が垂直に交わるとき,次の問いに答えよ.
(1) p の値を求めよ.
(2) g⁡( t)= f⁡( et ) とおく.このとき, g′⁡ (c) =0 となるような c の値を求めよ.
(3) 定積分 ∫ 13 f⁡( x) x⁢ dx の値を求めよ.
(4) (2)で求めた c の値に対して,定積分 ∫0c g⁡ (t) ⁢dt の値を求めよ.