2014 関西学院大 理系関学独自入試2月5日実施MathJax

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2014 関西学院大学 理系関学独自方式

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(1)  2 つの複素数 α =1+p i β=q +ri p q r は実数, i は虚数単位)が α +β=5 i を満たし, αβ の虚部は 9 であるとする.このとき p = r= である.また, 1 α= s+t i s t は実数)とするとき s2+ t2= である.

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【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(2) 実数 t に対して a= (-2 t+1 ,t-3 ,5) とおくと, |a | t = のとき最小値 をとる.また, t がどんな値であっても a b= (x, y,1 ) は垂直であるとすると, y= である.

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【1】 次の文章中の   に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.

(3) 関数 f (x )=a x+b a b は定数で a 0 )の導関数は f ( x)= である. f( 3)= 3 f( 3)= 1 のとき a = b= である.また,これらの a b の値に対して, f( x) の不定積分は f( x) dx= +C である.ただし, C は積分定数である.

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【2】  xy 平面において,方程式 x2+ y2-6 y=0 で表される円 C と,点 ( 0,-1 ) を通り傾き a a は正の定数)の直線 l 2 A B で交わるとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 円 C の中心から直線 l までの距離を a を用いて表せ.

(2) 線分 AB の長さが 185 であるとき, a の値を求めよ.

(3)  a は上の(2)で求めた値をとるものとする.また, 2 A B および点 P ( 1,1 ) を通る円を C とする.このとき,円 C の方程式と sin APB を求めよ.

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【3】 袋の中に白玉 1 個と赤玉 2 個が入っている.この袋から 1 個の玉を取り出して元に戻す操作を n 回繰り返す. k 回目に白玉が出れば ak=1 赤玉が出れば ak= 2 とする.和 a1+ a2+ +a n S n とおき, Sn が偶数となる確率を p n とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  p1 p2 p3 を求めよ.

(2)  pn+ 1 p n を用いて表せ.

(3)  pn n を用いて表せ.

(4)  limn pn を求めよ.

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【4】 正の定数 p に対して, f( x)= x x2+ p とする.曲線 y =f( x) の原点における接線と直線 y =-3 x が垂直に交わるとき,次の問いに答えよ.

(1)  p の値を求めよ.

(2)  g( t)= f( et ) とおく.このとき, g (c) =0 となるような c の値を求めよ.

(3) 定積分 13 f( x) x dx の値を求めよ.

(4) (2)で求めた c の値に対して,定積分 0c g (t) dt の値を求めよ.

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