2014　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別日程2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BA}=\mathrm{BC}=1$であり，$\angle \mathrm{ABC}=90\mathrm{°}$とする．このとき$\angle \mathrm{AOC}$の大きさは$\angle \mathrm{AOC}=\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}$である．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると線分$\mathrm{OM}$および線分$\mathrm{AM}$の長さの値は$\mathrm{OM}=\boxed{\text{イ}}\text{，}\mathrm{AM}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\cos \angle \mathrm{OAM}$の値は$\cos \angle \mathrm{OAM}=\boxed{\text{エ}}$であるので，線分$\mathrm{AM}$上に点$\mathrm{N}$を$\angle \mathrm{ANO}=90\mathrm{°}$になるようにとると，線分$\mathrm{ON}$の長さの値は$\mathrm{ON}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に赤玉が$7$個と青玉が$3$個入っている．この中から$1$個の玉を取り出して袋にもどす試行を$4$回繰り返すとき，$2$回青玉を取り出す確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，また少なくとも$1$回青玉を取り出す確率は$\boxed{\text{キ}}$である．次に，この袋の中から$4$個の玉を同時に取り出すとき，$4$個の中の青玉の個数を$X$とする．$X=0$である確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=1$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y={\log }_2(1-x)+{\log }_{4}x$の最大値を求めよう．真数は正であるから$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$である．このとき

$y={\log }_4(\boxed{\text{ウ}})$

である．ただし$\boxed{\text{ウ}}$は$x$の整式である．したがって$y$は$x=\boxed{\text{エ}}$で最大値$y={\log }_4\boxed{\text{オ}}$をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$において，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が$S_n=2n^2-15n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で表されている．$\{a_n\}$の初項は$a_1=\boxed{\text{カ}}$であり，第$n$項は$a_n=\boxed{\text{キ}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$は数値，$\boxed{\text{キ}}$は$n$の式である．また，$S_n$が最小となるときの$n$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

実数$x$に対して，数列$\{b_n\}$が$b_n=a_n{x}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義されるとき，初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和を$T_n$とする．$x\ne 1$のとき，$T_n$を$x$と$n$の式で表すと

$T_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}x-(\boxed{\text{キ}})x^{n+1}}{1-x}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{{(1-x)}^2}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=4\text{，}\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$とする．また，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線$\mathrm{AD}$と$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{H}$とする．直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるような実数$s$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるような実数$t\text{，}u$の値を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}}$の値を求めよ．