2015 大学入試センター試験 本試験 数学IIB・旧数学IIBMathJax

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2015 大学入試センター試験 本試

数学II,IIB,旧数学IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  O を原点とする座標平面上の 2 P ( 2cos θ,2 sinθ ) Q (2 cosθ +cos7 θ,2 sinθ +sin7 θ ) を考える.ただし, π 8θ π4 とする.

(1)  OP= PQ = である.また

OQ2 = + (cos 7θ cosθ +sin7 θsin θ) = + cos ( θ )

である.

 よって, π 8θ π 4 の範囲で, OQ θ =π のとき最大値 をとる.

(2)  3 O P Q が一直線上にあるような θ の値を求めよう.

 直線 OP を表す方程式は である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

 このことにより, π 8 θ π4 の範囲で, 3 O P Q が一直線上にあるのは θ =π のときであることがわかる.

(3)  OQP が直角となるのは OQ = のときである.したがって π 8θ π 4 の範囲で, OQP が直角となるのは θ = π のときである.

2015 大学入試センター試験 本試

数学II,IIB,旧数学IIB共通

配点15点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2]  a b を正の実数とする.連立方程式

(*) { xy 3=a x3 y=b

を満たす正の実数 x y について考えよう.

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数 x y

x=a b セソ y= ap b

となる.ただし

p= チツ

である.

(2)  b=2 a43 とする. a a >0 の範囲を動くとき,連立方程式(*)を満たす正の実数 x y について, x+y の最小値を求めよう.

  b=2 a4 3 であるから,(*)を満たす正の実数 x y は, a を用いて

x=2 セソ a トナ y =2 a

と表される.したがって,相加平均と相乗平均の関係を利用すると, x+y a =2q のとき最小値 をとることがわかる.ただし

q= ネノ

である.

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数学II,IIB,旧数学IIB共通

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】(1) 関数 f (x )= 12 x 2 x =a における微分係数 f ( a) を求めよう. h 0 でないとき, x a から a +h まで変化するときの f (x ) の平均変化率は + h である.したがって,求める微分係数は

f (a )= limh ( + h ) =

である.

(2) 放物線 y =1 2 x 2 C とし, C 上に点 P ( a, 12 a 2) をとる.ただし, a>0 とする.点 P における C の接線 l の方程式は

y= x- 1 a 2

である.直線 l x 軸との交点 Q の座標は ( , 0) である.点 Q を通り l に垂直な直線を m とすると, m の方程式は

y= ケコ x+

である.

 直線 m y 軸との交点を A とする.三角形 APQ の面積を S とおくと

S= a( a2+ )

となる.また, y 軸と線分 AP および曲線 C によって囲まれた図形の面積を T とおくと

T= a( a2+ ) チツ

となる.

  a>0 の範囲における S -T の値について調べよう.

S-T = a( a2- ) トナ

である. a>0 であるから, S-T> 0 となるような a のとり得る値の範囲は a > である.また, a>0 のときの S -T の増減を調べると, S-T a = で最小値 ネノ ハヒ をとることがわかる.

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数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面において,点 A ( p,q ) と直線 y =2 x を考える.ただし, q0 q 2p とする. x 軸に関して A と対称な点を B 直線 y =2x に関して A と対称な点を C とし,線分 BC 1 :3 に内分する点を D とする.

(1) 点 B の座標は である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

(2) 点 C の座標を ( r,s ) とおくとき, r s を, p q を用いて表そう.

 直線 AC が直線 y =2x と垂直であるから, s-q = イウ (r -p) が成り立つ.また,線分 AC の中点 ( p +r , q +s ) は直線 y =2x 上にある.これらのことにより

r= カキ p+ q s= p+ q

であることがわかる.

(3) 点 D は線分 BC 1 :3 に内分するので,(1)と(2)で求めた B C の座標を用いると, D の座標は

( p+ q, p- q)

となる.これにより

OD2 = OA 2

が成り立つことがわかる.

(4)  により, A O を中心とする半径 2 の円の周上にあるとき, D O を中心とする半径 ニヌ の円の周上にあることがわかる.

2015 大学入試センター試験 本試

数学II

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】(1)  a b を実数として, P( x)= x3+ ax2 +bx -5 とする.虚数 1 +2i が方程式 P (x )=0 の解であるとき, a b の値と他の解を求めよう.

P( 1+2 i)= アイウ - a+ b +( オカ + a+2 b) i

となる. P( 1+2 i)= 0 であるから, a=- b= であり

P( x)= x3- x2- x-5

である.

 このとき, により, P ( ) =0 であるから,因数定理により

P( x)= (x - ) (x 2- x+ )

が成り立つ.したがって, P( x)= 0 1 +2i 以外の解は, 1 - i である.

(2)  p を実数として, Q( x)= x3+ px2 +p x+1 とする.方程式 Q (x )=0 は,異なる三つの負の実数解 α β γ をもつとする.ただし, α<β <γ とする. α β γ が条件

(β -α) :(γ -β) =3:2

を満たすとき,三つの解 α β γ p の値を求めよう.

  Q( - ) =0 であるから,因数定理により

Q( x)= (x+ ) { x2+ (p- ) x+1 }

が成り立つ.

  2 次方程式

x2 +(p - ) x+1 =0

が異なる二つの負の実数解をもつときの p のとり得る値の範囲は, p> である.

 解と係数の関係から,方程式 の解の一つは絶対値が 1 より大きく,他の解の絶対値は 1 より小さい.したがって, β=- であり, α γ は方程式 の解であることがわかる.解と係数の関係と条件 により α =- γ =- p= ナニ である.

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数学IIB,旧数学IIB共通

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 自然数 n に対し, 2n の一の位の数を a n とする.また,数列 { bn }

b1 =1 b n+1 = an bn 4 n= 1 2 3

を満たすとする.

(1)  a1 =2 a 2= a3 = a4 = a5 = である.このことから,すべての自然数 n に対して, a =an となることがわかる. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

(2) 数列 { bn } の一般項を求めよう. を繰り返し用いることにより

bn+ 4= an+3 an +2 an+1 a n2 b n n=1 2 3

が成り立つことがわかる.ここで, an+ 3 an+2 a n+1 an =3 2 であることから, bn+ 4= bn が成り立つ.このことから,自然数 k に対して

b4 k-3 =( ) k-1 b 4k- 2= ( ) k-1

b4 k-1 = ( ) k-1 b4 k= ( ) k-1

である.

(3)  Sn = j= 1n bj とおく.自然数 m に対して

S4 m = ( ) m-

である.

(4) 積 b1 b2 b n T n とおく.自然数 k に対して

b4 k-3 b 4k -2 b4 k-1 b4 k= 1 ( ) ( k-1 )

であることから,自然数 m に対して

T4 m= 1 m ( ) m2- m

である.また, T10 を計算すると, T10 = 3 2 ヌネ である.

2015 大学入試センター試験 本試

数学IIB,旧数学IIB共通

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  1 辺の長さが 1 のひし形 OABC において, AOC= 120 ° とする.辺 AB 2 :1 に内分する点を P とし,直線 BC 上に点 Q OP OQ となるようにとる.以下, OA =a OB b とおく.

(1) 三角形 OPQ の面積を求めよう. OP = a + b である.実数 t を用いて OQ =(1 -t) OB +t OC と表されるので, OQ = ta + b である.ここで, a b = OP OQ = であることから, t= である.

 これらのことから, | OP |= |OQ | = シス である.よって,三角形 OPQ の面積 S 1 は, S1 = チツ である.

(2) 辺 BC 1 :3 に内分する点を R とし,直線 OR と直線 PQ との交点を T とする. OT a b を用いて表し,三角形 OPQ と三角形 PRT の面積比を求めよう.

  T は直線 OR 上の点であり,直線 PQ 上の点でもあるので,実数 r s を用いて

OT =r OR =(1 -s) OP +s OQ

と表すと, r= s= となることがわかる.よって, OT = ヌネ ノハ a + b である.

 上で求めた r s の値から,三角形 OPQ の面積 S 1 と,三角形 PRT の面積 S 2 との比は, S1 :S2 = ヘホ :2 である.

2015 大学入試センター試験 本試

数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.

 また,小数で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 袋の中に白球が 4 個,赤球が 3 個入っている.この袋の中から同時に 3 個の球を取り出すとき,白球の個数を W とする.確率変数 W について

P( W=0) = イウ P (W =1) = エオ イウ

P( W=2) = カキ イウ P( W=3) = イウ

であり,期待値(平均)は ケコ 分散は シス セソ である.

(2) 確率変数 Z が標準正規分布に従うとき

P( - Z ) =0.99

が成り立つ. に当てはまる最も適切なものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

(3) 母標準偏差 σ の母集団から,大きさ n の無作為標本を抽出する.ただし, n は十分に大きいとする.この標本から得られる母平均 m の信頼度(信頼係数) 95 % の信頼区間を A mB とし,この信頼区間の幅 L 1 L 1=B- A で定める.

 この標本から得られる信頼度 99 % の信頼区間を C mD とし,この信頼区間の幅 L 2 L 2=D- C で定めると

L2L 1= .

が成り立つ.また,同じ母集団から,大きさ 4 n の無作為標本を抽出して得られる母平均 m の信頼度 95 % の信頼区間を E mF とし,この信頼区間の幅 L 3 L3=F -E で定める.このとき

L3L 1= .

が成り立つ.

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旧数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 次の表は,あるクラスの生徒 20 人に対して行われた英語と数学のテスト(各 50 点満点)の得点をまとめたものである.英語の得点を変量 x 数学の得点を変量 y で表し, x の平均値を x y の平均値を y で表す.ただし,テストの得点は整数値である.また,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.

番号 x y (x -x ) 2 y-y (y -y )2 (x -x ) (y- y )
1 42 18 81.0 1.0 1.0 9.0
2 49 16 256.0 -1.0 1.0 -16.0
3 44 23 121.0 6.0 36.0 66.0
18 39 18 36.0 1.0 1.0 6.0
19 30 10 9.0 -7.0 49.0 21.0
20 32 20 1.0 3.0 9.0 -3.0
合計 660A 2000.0B 500.0 353.0

 以下,小数の形で解答する場合,指定された けた 数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁まで 0 にマークすること.

(1) 変量 x の平均値 x アイ . 点である.

(2) 変量 y の平均値 y エオ . 点である.したがって,変量 y の合計Aの値は キクケ である.また,合計Bの値は . である.

(3) 変量 x と変量 y の相関係数の値は . スセソ である.

(4) さらに,変量 x と変量 y の値をそれぞれ 10 ずつの区間に区切って,次の表を作成した.たとえば,変量 x の値が 30 以上 40 未満で変量 y の値が 20 以上 30 未満である度数は 4 である.

x y 0 以上 10 未満 10 以上 20 未満 20 以上 30 未満 30 以上 40 未満 40 以上 50 以下
0 以上 10 未満 0 0 0 0 0
10 以上 20 未満 1 1 1 0 0
20 以上 30 未満 0C 1 0 0
30 以上 40 未満 0D 4 0 0
40 以上 50 以下 1 3 2 0 0

ここで,変量 x の値が 20 以上で変量 y の値が 10 以上である度数は 16 であり,変量 x の値が 30 未満で変量 y の値が 30 未満である度数は 8 である.このことから,表中のCの値は であり,Dの値は である.

(5) 新しい変量 w w =x+50 により定める.このとき,変量 w の平均値は ツテ . である.

 次に,新しい変量 z z =2y により定める.このとき,変量 z の分散の値は ナニヌ . ネノ である.また,変量 z のヒストグラムとして,最も適切なものは である. に当てはまるものを,次の 0 3 のうちから一つ選べ.

 ここで,変量 x と変量 y の相関係数の値を r1 変量 w と変量 z の相関係数の値を r 2 とすると, の関係がある. に当てはまるものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

0   r2 = r14 1   r2 = r12 2   r2 =r1
3   r2 =2 r1 4   r2 =4 r1

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旧数学IIB

選択問題

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】(1) 自然数 M N M >N であり,最大公約数が 1 であるとする.このとき,分数 MN に対して,次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考える.

(ⅰ)  M N で割ったときの商を Q 余りを R とする.

(ⅱ)  R>0 ならば M N の値を代入し,次に N R の値を代入して(ⅰ)に戻る.

(ⅲ)  R=0 ならば終了する.

この手順は,繰り返しのたびに R が小さくなり,何回かの後に必ず R =0 となって終了する.そこで, R=0 となるまでに(ⅰ)が実行された回数を K として,(ⅰ)に現れる ( M,N, Q,R ) を実行順に, (M 1,N 1,Q 1,R 1) ( M2, N2, Q2, R2 ) ( MK, NK,Q K,RK ) と表す.このようにして得られる商の列 Q1 Q 2 QK について考えてみよう.

 たとえば,分数 107 の場合には(ⅰ)〜(ⅲ)の手順により,商の列 1 2 3 が得られる.

M1= 10 N1= 7 Q1= 1 R1 =
M2 =7 N 2= Q2 =2 R2 =1
M3 = N3= 1 Q3 =3 R3 =

 また,商の列 1 2 3 を用いて, 10 7 は次のように表すことができる.

10 7= M1N 1= Q1+ N 2M2 =Q 1+ 1Q2 +N 3M3 = Q1+ 1 Q2+ 1Q 3 =1+ 12+ 13

 この手順にしたがって,自然数 M N を入力して,分数 MN に対応する商の列 Q1 Q 2 QK を求めるための〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT(X)Xを超えない最大の整数を表す関数である.

〔プログラム1〕

100 INPUT M

110 INPUT N

120 LET Q=INT(M/N)

130 PRINT Q

LET R=

150 LET M=N

160 LET N=

170 IF R>0 THEN GOTO 120

180 END

 〔プログラム1〕の に当てはまるものを,次の 0 7 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

 〔プログラム1〕を実行して変数M47,変数N10を入力し,分数 4710 に対応する商の列を求めた.130行で出力される変数Qの値は順に,41 であり,150行が 3 回実行された直後の変数Mの値は である.

(2)  K 個の商の列 QK Q K-1 Q1 を順に入力し,最後に入力の終了を表す 0 を入力して,対応する分数を求めるための〔プログラム2〕を作成した.

 たとえば,〔プログラム2〕を実行して,変数Q 140と順に入力すれば,180行で分数47/10が出力される.

〔プログラム2〕

100 LET M=1

110 LET N=0

120 INPUT Q

130 IF Q=0 THEN GOTO 180

140 LET R=

150 LET N=M

160 LET M=

170 GOTO 120

180 PRINT M;"/";N

190 END

 〔プログラム2〕の に当てはまるものを,次の 0 7 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.

 〔プログラム2〕を実行して,変数Q23150と順に入力すれば,180行で出力される分数は コサ / である.このとき,150行が 3 回実行された直後の変数Nの値は である.

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