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2015 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
2015 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
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【2】(1) 関数のにおける微分係数を求めよう.がでないとき,がからまで変化するときのの平均変化率はである.したがって,求める微分係数は
である.
(2) 放物線をとし,上に点をとる.ただし,とする.点におけるの接線の方程式は
である.直線と軸との交点の座標はである.点を通りに垂直な直線をとすると,の方程式は
である.
直線と軸との交点をとする.三角形の面積をとおくと
となる.また,軸と線分および曲線によって囲まれた図形の面積をとおくと
となる.
の範囲におけるの値について調べよう.
である.であるから,となるようなのとり得る値の範囲はである.また,のときのの増減を調べると,はで最小値をとることがわかる.
【3】 を原点とする座標平面において,点と直線を考える.ただし,とする.軸に関してと対称な点を直線に関してと対称な点をとし,線分をに内分する点をとする.
(1) 点の座標はである.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
(2) 点の座標をとおくとき,とを,とを用いて表そう.
直線が直線と垂直であるから,が成り立つ.また,線分の中点は直線上にある.これらのことにより
であることがわかる.
(3) 点は線分をに内分するので,(1)と(2)で求めたとの座標を用いると,の座標は
となる.これにより
が成り立つことがわかる.
(4) により,がを中心とする半径の円の周上にあるとき,はを中心とする半径の円の周上にあることがわかる.
【4】(1) を実数として,とする.虚数が方程式の解であるとき,の値と他の解を求めよう.
となる.であるから,であり
である.
このとき,により,であるから,因数定理により
が成り立つ.したがって,の以外の解は,とである.
(2) を実数として,とする.方程式は,異なる三つの負の実数解をもつとする.ただし,とする.が条件
を満たすとき,三つの解との値を求めよう.
であるから,因数定理により
が成り立つ.
次方程式
が異なる二つの負の実数解をもつときののとり得る値の範囲は,である.
解と係数の関係から,方程式の解の一つは絶対値がより大きく,他の解の絶対値はより小さい.したがって,であり,とは方程式の解であることがわかる.解と係数の関係と条件によりである.
2015 大学入試センター試験 本試
易□ 並□ 難□
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【5】 以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて正規分布表を用いてもよい.
また,小数で解答する場合,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁までにマークすること.
(1) 袋の中に白球が個,赤球が個入っている.この袋の中から同時に個の球を取り出すとき,白球の個数をとする.確率変数について
であり,期待値(平均)は分散はである.
(2) 確率変数が標準正規分布に従うとき
が成り立つ.に当てはまる最も適切なものを,次ののうちから一つ選べ.
(3) 母標準偏差の母集団から,大きさの無作為標本を抽出する.ただし,は十分に大きいとする.この標本から得られる母平均の信頼度(信頼係数)の信頼区間をとし,この信頼区間の幅をで定める.
この標本から得られる信頼度の信頼区間をとし,この信頼区間の幅をで定めると
が成り立つ.また,同じ母集団から,大きさの無作為標本を抽出して得られる母平均の信頼度の信頼区間をとし,この信頼区間の幅をで定める.このとき
が成り立つ.
【5】 次の表は,あるクラスの生徒人に対して行われた英語と数学のテスト(各点満点)の得点をまとめたものである.英語の得点を変量数学の得点を変量で表し,の平均値をの平均値をで表す.ただし,テストの得点は整数値である.また,表の数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする.
番号 | ||||||
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
合計 | A | B |
以下,小数の形で解答する場合,指定された数の一つ下の桁を四捨五入し,解答せよ.途中で割り切れた場合,指定された桁までにマークすること.
(1) 変量の平均値は点である.
(2) 変量の平均値は点である.したがって,変量の合計A
の値はである.また,合計B
の値はである.
(3) 変量と変量の相関係数の値はである.
(4) さらに,変量と変量の値をそれぞれずつの区間に区切って,次の表を作成した.たとえば,変量の値が以上未満で変量の値が以上未満である度数はである.
C |
|||||
D |
|||||
ここで,変量の値が以上で変量の値が以上である度数はであり,変量の値が未満で変量の値が未満である度数はである.このことから,表中のC
の値はであり,D
の値はである.
(5) 新しい変量をにより定める.このとき,変量の平均値はである.
次に,新しい変量をにより定める.このとき,変量の分散の値はである.また,変量のヒストグラムとして,最も適切なものはである.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
ここで,変量と変量の相関係数の値を変量と変量の相関係数の値をとすると,の関係がある.に当てはまるものを,次ののうちから一つ選べ.
【6】(1) 自然数はであり,最大公約数がであるとする.このとき,分数に対して,次の(ⅰ)〜(ⅲ)の手順を考える.
(ⅰ) をで割ったときの商を余りをとする.
(ⅱ) ならばにの値を代入し,次ににの値を代入して(ⅰ)に戻る.
(ⅲ) ならば終了する.
この手順は,繰り返しのたびにが小さくなり,何回かの後に必ずとなって終了する.そこで,となるまでに(ⅰ)が実行された回数をとして,(ⅰ)に現れるを実行順に,と表す.このようにして得られる商の列について考えてみよう.
たとえば,分数の場合には(ⅰ)〜(ⅲ)の手順により,商の列が得られる.
また,商の列を用いて,は次のように表すことができる.
この手順にしたがって,自然数を入力して,分数に対応する商の列を求めるための〔プログラム1〕を作成した.ただし,INT(X)
はX
を超えない最大の整数を表す関数である.
〔プログラム1〕
100 INPUT M
110 INPUT N
120 LET Q=INT(M/N)
130 PRINT Q
LET R=
150 LET M=N
160 LET N=
170 IF R>0 THEN GOTO 120
180 END
〔プログラム1〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
0
1
Q
R
M-Q*N
M-R*N
N-Q*M
N-R*M
〔プログラム1〕を実行して変数M
に47
,変数N
に10
を入力し,分数に対応する商の列を求めた.130
行で出力される変数Q
の値は順に,4
,1
,であり,150
行が回実行された直後の変数M
の値はである.
(2) 個の商の列を順に入力し,最後に入力の終了を表すを入力して,対応する分数を求めるための〔プログラム2〕を作成した.
たとえば,〔プログラム2〕を実行して,変数Q
に1
,4
,0
と順に入力すれば,180
行で分数47/10
が出力される.
〔プログラム2〕
100 LET M=1
110 LET N=0
120 INPUT Q
130 IF Q=0 THEN GOTO 180
140 LET R=
150 LET N=M
160 LET M=
170 GOTO 120
180 PRINT M;"/";N
190 END
〔プログラム2〕のに当てはまるものを,次ののうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを選んでもよい.
0
1
M
N
Q
R
Q*N+R
R*N+Q
〔プログラム2〕を実行して,変数Q
に2
,3
,1
,5
,0
と順に入力すれば,180
行で出力される分数はである.このとき,150
行が回実行された直後の変数N
の値はである.