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2015-10001-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁)へ
2015 北海道大学 前期
文系
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの放物線
C1 :y= x2 ,C 2:y =-( x-1) 2
がある. a は 0 でない実数とし, C1 上の 2 点 P ( a,a2 ) ,Q ( -2⁢a ,4⁢ a2 ) を通る直線と平行な C 1 の接線を l とする.
(1) l の方程式を a で表せ.
(2) C2 と l が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.
(3) C2 と l が異なる 2 つの共有点 R ,S をもつとする.線分 PQ の長さと線分 RS の長さが等しくなるとき, a の値を求めよ.
2015-10001-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
【2】 p は 0 でない実数とし
a1 =1 ,a n+1 = 1p⁢ a n- (-1 )n +1 ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
によって定まる数列 { an } がある.
(1) bn =pn ⁢an とする. bn +1 を bn ,n , p で表せ.
(2) 一般項 a n を求めよ.
2015-10001-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
【3】 平面において,一直線上にない 3 点 O , A , B がある. O を通り直線 OA と垂直な直線上に O と異なる点 P をとる. O を通り直線 OB と垂直な直線上に O と異なる点 Q をとる.ベクトル OP→ +OQ→ は AB → に垂直であるとする.
(1) OP→ ⋅OB →= OQ→ ⋅OA→ を示せ.
(2) ベクトル OA→ , OB→ のなす角を α とする.ただし, 0< α< π2 とする.このときベクトル OP→ , OQ→ のなす角が π -α であることを示せ.
(3) |OP →| | OA→ | = |OQ →| | OB→ | を示せ.
2015-10001-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁)へ
理系のための備忘録さんの解答へ
【4】 ジョーカーを除く 1 組 52 枚のトランプのカードを 1 列に並べる試行を考える.
(1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ.
(2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い, 4 枚連続しては並ばない確率を求めよ.
2015-10001-0105
理系
【1】 a は実数とし, 2 つの曲線
C1 :y=( x-1) ⁢ex , C2 :y= 1 2⁢e ⁢ x2+ a
がある.ただし, e は自然対数の底である. C1 上の点 ( t,( t-1 )⁢ et ) における C 1 の接線が C 2 に接するとする.
(1) a を t で表せ.
(2) t が実数全体を動くとき, a の極小値,およびそのときの t の値を求めよ.
2015-10001-0106
【2】 p ,q は正の実数とし, a1 =0 , a n+1 =p⁢ an+ (- q) n+1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) によって定まる数列 { an } がある.
(1) bn= a npn とする.数列 { bn } の一般項を p , q ,n で表せ.
(2) q=1 とする.すべての自然数 n について an+1 ≧a n となるような p の値の範囲を求めよ.
2015-10001-0107
【3】 空間の 3 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 1,1, 1) ,B ( -1,1 ,1) の定める平面を α とし, OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく. α 上の点 C があり,その x 座標が正であるとする.ベクトル OC → が a → に垂直で,大きさが 1 であるとする. OC→ =c → とおく.
(1) C の座標を求めよ.
(2) b→ =s⁢ a→ +t⁢ c→ をみたす実数 s , t を求めよ.
(3) α 上にない点 P ( x,y, z) から α に垂線を下ろし, α との交点を H とする. OH→ =k⁢ a→ +t⁢ c→ をみたす実数 k , l を x , y ,z で表せ.
2015-10001-0108
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
【4】 初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある.その袋に対して以下の試行を繰り返す.
(ⅰ) まず同時に 2 個の玉を取り出す.
(ⅱ) その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し,色違いであれば赤玉 2 個を袋に容れる.
(ⅲ) 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ, 1 回の試行を終える.
n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を X n とする.
(1) X1 =3 となる確率を求めよ.
(2) X 2=3 となる確率を求めよ.
(3) X2 =3 であったとき, X1 =3 である条件付き確率を求めよ.
2015-10001-0109
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁)へ
【5】 n は自然数, a は a > 32 をみたす実数とし,実数 x の関数
f⁡( x)= ∫ 0x (x- θ)⁢ (a⁢ sinn+ 1⁡θ -sinn -1⁡ θ)⁢ dθ
を考える.ただし, n=1 のときは sinn- 1θ =1 とする.
(1) ∫ 0π2 sin n+1 ⁡θ⁢d θ= nn+1 ⁢ ∫ 0π2 sinn -1⁡ θ⁢dθ を示せ.
(2) f′⁡ ( π 2 )=0 をみたす n と a の値を求めよ.
(3) (2)で求めた n と a に対して, f⁡ ( π 2 ) を求めよ.