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2015 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの放物線

C1 y= x2 C 2y =-( x-1) 2

がある. a 0 でない実数とし, C1 上の 2 P ( a,a2 ) Q ( -2a ,4 a2 ) を通る直線と平行な C 1 の接線を l とする.

(1)  l の方程式を a で表せ.

(2)  C2 l が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.

(3)  C2 l が異なる 2 つの共有点 R S をもつとする.線分 PQ の長さと線分 RS の長さが等しくなるとき, a の値を求めよ.

2015 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【2】  p 0 でない実数とし

a1 =1 a n+1 = 1p a n- (-1 )n +1 n= 1 2 3

によって定まる数列 { an } がある.

(1)  bn =pn an とする. bn +1 bn n p で表せ.

(2) 一般項 a n を求めよ.

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文系

易□ 並□ 難□

【3】 平面において,一直線上にない 3 O A B がある. O を通り直線 OA と垂直な直線上に O と異なる点 P をとる. O を通り直線 OB と垂直な直線上に O と異なる点 Q をとる.ベクトル OP +OQ AB に垂直であるとする.

(1)  OP OB = OQ OA を示せ.

(2) ベクトル OA OB のなす角を α とする.ただし, 0< α< π2 とする.このときベクトル OP OQ のなす角が π -α であることを示せ.

(3)  |OP | | OA | = |OQ | | OB | を示せ.

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文系

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【4】 ジョーカーを除く 1 52 枚のトランプのカードを 1 列に並べる試行を考える.

(1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ.

(2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い, 4 枚連続しては並ばない確率を求めよ.

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理系

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【1】  a は実数とし, 2 つの曲線

C1 y=( x-1) ex C2 y= 1 2e x2+ a

がある.ただし, e は自然対数の底である. C1 上の点 ( t,( t-1 ) et ) における C 1 の接線が C 2 に接するとする.

(1)  a t で表せ.

(2)  t が実数全体を動くとき, a の極小値,およびそのときの t の値を求めよ.

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理系

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【2】  p q は正の実数とし, a1 =0 a n+1 =p an+ (- q) n+1 n=1 2 3 によって定まる数列 { an } がある.

(1)  bn= a npn とする.数列 { bn } の一般項を p q n で表せ.

(2)  q=1 とする.すべての自然数 n について an+1 a n となるような p の値の範囲を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【3】 空間の 3 O ( 0,0, 0) A ( 1,1, 1) B ( -1,1 ,1) の定める平面を α とし, OA =a OB =b とおく. α 上の点 C があり,その x 座標が正であるとする.ベクトル OC a に垂直で,大きさが 1 であるとする. OC =c とおく.

(1)  C の座標を求めよ.

(2)  b =s a +t c をみたす実数 s t を求めよ.

(3)  α 上にない点 P ( x,y, z) から α に垂線を下ろし, α との交点を H とする. OH =k a +t c をみたす実数 k l x y z で表せ.

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理系

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【4】 初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある.その袋に対して以下の試行を繰り返す.

(ⅰ) まず同時に 2 個の玉を取り出す.

(ⅱ) その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し,色違いであれば赤玉 2 個を袋に容れる.

(ⅲ) 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ, 1 回の試行を終える.

  n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を X n とする.

(1)  X1 =3 となる確率を求めよ.

(2)  X 2=3 となる確率を求めよ.

(3)  X2 =3 であったとき, X1 =3 である条件付き確率を求めよ.

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理系

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【5】  n は自然数, a a > 32 をみたす実数とし,実数 x の関数

f( x)= 0x (x- θ) (a sinn+ 1θ -sinn -1 θ) dθ

を考える.ただし, n=1 のときは sinn- 1θ =1 とする.

(1)  0π2 sin n+1 θd θ= nn+1 0π2 sinn -1 θdθ を示せ.

(2)  f ( π 2 )=0 をみたす n a の値を求めよ.

(3) (2)で求めた n a に対して, f ( π 2 ) を求めよ.

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