2015　北海道大学　後期MathJax

【１】　$x>0$で定義された関数$f(x)={\displaystyle {\int }_1^e}{t}^{x-1}\log tdt$を考える．ただし，$\log t$は$t$の自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$x>0$において，関数$g(x)=x^{2}f(x)-x^2$の極小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　$p$を$3$以上の奇数，$\theta$を$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{p}}(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をみたす実数とし，数列$\{a_n\}$を$a_n=p^n\cos (n\theta )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．

(1)　$a_2$を$p$で表せ．

(2)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}\text{，}{a}_n\text{，}p$で表せ．

(3)　すべての$n$について$a_n$は$p$で割り切れない整数であることを示せ．

【３】　方程式${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+y^2=1$で定まる楕円$E$とその焦点$\mathrm{F}(1,0)$がある．$E$上に点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{PF}$と$E$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{F}$を通り直線$\mathrm{PF}$と垂直な直線と$E$との$2$つの交点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

(1)　$r$を正の実数，$\theta$を実数とする．点$(r\cos \theta +1,r\sin \theta )$が$E$上にあるとき，$r$を$\theta$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が$E$上を動くとき，$\mathrm{PF}+\mathrm{QF}+\mathrm{RF}+\mathrm{SF}$の最小値を求めよ．

【４】　$p$を正の実数とする．$a\text{，}b$を実数として$x=a\text{，}y={(b-3)}^2$とおく．点$(a,b)$が連立不等式$0\leqq a\leqq p\text{，}a\leqq b\leqq a+2$の表す領域内を動くとき，座標平面上の点$(x,y)$が動いてできる図形の面積を$S$とおく．

(1)　$p=1$のとき$S$の値を求めよ．

(2)　$p=5$のとき$S$の値を求めよ．