2015　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=x^2+ax+b$

と定める．また，$f(-2)=-1\text{，}{f}^{\prime }(-2)=9$とする．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,-1)$における接線を$l$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$l$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$l$および$m$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=(x^2-6x+8)e^{-x}$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$a$を定数とし，$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．媒介変数$t$を用いて

$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0\leqq t\leqq a$の部分の長さを$L$とする．

(1)　$L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$L={\displaystyle {\int }_0^a}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$と表される．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}({\cos }^{3}a,{\sin }^{3}a)$における接線$l$の方程式を求めよ．また，$l$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$L={\displaystyle \frac{3}{2}}M$が成り立つことを示せ．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3+9n^2+7n$で表されるとする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$T_n$を一般項とする数列$\{T_n\}$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{OAB}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$を満たすとする．また，$k$を実数とし，辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{M}$を$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と定める．さらに，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$k$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=2$となる$k$の値を求めよ．