2015　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$f(p,q,r)=p^3-q^3-27r^3-9pqr$について，次の問いに答えよ．

問１　$f(p,q,r)$を因数分解せよ．

問２　等式$f(p,q,r)=0$と$p^2-10q-30r=11$との両方を満たす正の整数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

【２】　$n$を正の整数とする．$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$の範囲で関数$f(x)=x\sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a_n$と$b_n$はそれぞれ$\stackrel{\text{ただ}}{\text{唯}}1$つあって，$2n\pi \leqq b_n\leqq 2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a_n<(2n+1)\pi$を満たすことを示せ．

問２　以下の極限を求めよ．

• (1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-2n\pi )$
• (2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-2n\pi )$
• (3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }f(b_n)$

問３　曲線$y=f(x)\text{（}2\leqq x\leqq (2n+1)\pi \text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n\text{，}x=2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．

問４　以下の極限を求めよ．

• (1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_1$
• (2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_3$
• (3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(S_4-S_2)$

【３】　曲線$C\text{：}y={\sin }^{2}x$について，$C$上の点$(t,{\sin }^{2}t)(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．

問２　関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．

問３　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，点$(t,{\sin }^{2}t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．

【４】　四面体$\mathrm{OAPQ}$において，$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}=60°\text{，}\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OP}=p\text{，}\mathrm{OQ}=q$とし，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$p\leqq q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

問３　$p+q=3\text{，}$および$▵\mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．

(1)　$pq$　　(2)　$p$　　(3)　四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積