2015　弘前大学　前期MathJax

【１】　$3$辺の長さが$2\text{，}3\text{，}4$の三角形について次の問いに答えよ．

(1)　内角が最大の頂点を$\mathrm{A}\text{，}$最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}\text{，}\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．

(2)　残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，${\mathrm{AQ}}^2+{\mathrm{BR}}^2+{\mathrm{CP}}^2$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　男子$4$人と女子$4$人を円形のテーブルのまわりに無作為に配置する．次の問いに答えよ．

(1)　男女が交互に並ぶ配置になる確率を求めよ．

(2)　この配置を$3$回行うとき，男女が交互に並ぶ配置になる回数が$1$回または$2$回になる確率を求めよ．

【３】　側面の展開図が，半径$10\text{，}$中心角$x$の扇形である円錐を作る．この円錐の体積の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}<x<360\mathrm{°}$とする．

【４】　次の問いに答えよ

(1)　$a$を実数とする．${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}axdx$を$a$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61}\text{，}{61}^{59}$の大小関係を決定せよ．

【４】　次の問いに答えよ

(3)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{k}^2{\displaystyle {\int }_1^{e^{\frac{1}{k}}}}{\displaystyle \frac{\log x}{x^k}}dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$r>0$を定数とする．点$(x,y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$x\text{，}y$がすべての実数値をとるとき，${\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}}$の最大値と最小値を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$-x^2-x\leqq \log (1-x)\leqq -x$

(2)　数列$\{a_n\}$を次によって定める．

$\begin{array}{lll}{a}_1& =& (1-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 1^2}})\\ a_2& =& (1-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 2^2}})(1-{\displaystyle \frac{2}{2\cdot 2^2}})\\ & ⋮& \\ a_n& =& (1-{\displaystyle \frac{1}{2n^2}})(1-{\displaystyle \frac{2}{2n^2}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{n}{2n^2}})\end{array}$

このとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【７】　$xy$平面において，曲線$C\text{：}{x}^2+y^2=1\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{），}$および直線$l\text{：}y=(\tan \theta )x$を考える．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす定数とする．$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を次によって定める．

$S_1$：$x$軸，曲線$C\text{，}$直線$l$で囲まれた部分の面積

$S_2$：$x$軸，曲線$C\text{，}$直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

$S_3$：$x$軸，直線$l\text{，}$直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)　$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．

(3)　$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．