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2015 弘前大学 後期理工学部

数理科学科

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.次の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x )= xn+1 e -x x 0 における最大値を求めよ.

(2) 極限 limx x ne -x を求めよ.

(3) すべての自然数 n に対して

limx 0x tn e- td t=n!

を示せ.

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数理科学科

易□ 並□ 難□

【2】  a>0 を定数とする.その a に対して,関数 f (θ )

f( θ)= -sin2 θ+4 acos θ+ a2+2 0θ< 2π

と定める.このとき,方程式 f (θ )=0 をみたす θ はいくつあるか. a の値によって分類せよ.

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数理科学科

易□ 並□ 難□

【3】 半径 r 中心角 2 3 π の扇形を D とする.扇形 D の中心角の二等分線を l1 扇形 D の弧と l 1 の交点を P とする.さらに,点 P を通り l 1 に直交する直線を l 2 とする.このとき, D l 2 の周りに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.

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【4】  1 から 10 での数字が書かれたカードがそれぞれ 3 枚ずつ,合計 30 枚ある.この中からカードを 3 枚無作為に取り出す.次の問いに答えよ.

(1) 取り出したカードの数字の最小値が 5 となる確率を求めよ.

(2) 取り出したカードの数字のうち 2 つだけが等しくなる確率を求めよ.

(3) 取り出したカードの数字が全て異なる確率を求めよ.

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