2015　岩手大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減表をかいて極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$2$次関数$g(x)$で，次の$3$項目が$f(x)$と一致するものを求めよ．

• $\text{①}$　極小値
• $\text{②}$　極小値をとるときの$x$の値
• $\text{③}$　$x=0$における値

(3)　設問(2)で求めた$g(x)$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|g(x)|dx$を求めよ．

【２】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,2)\text{，}\mathrm{B}(1,3)$をとる．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{X}\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Y}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．

(3)　$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}(x,y)$が，設問(3)で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(5,2,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,-5,1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$を満たす$s\text{，}$$t$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式${\log }_9(x+4)={\log }_3(2x-7)+{\log }_5{\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{5}}}$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B$で表すとき，$\cos A={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}\cos B={\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは${\displaystyle \frac{38}{5}}$であるとする．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)　$a<b<c<d$となる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

【３ア】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$s$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．

【３イ】　$a_3=4\text{，}{a}_8=3$である等差数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$および$a_{99}$を求めよ．

(2)　$99$個の項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．

(3)　$99$個の項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．

【４カ】　$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x\text{，}g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a\text{，}b$は定数である．

　関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．

　さらに，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【４キ】　関数$f(x)={\cos }^{3}x\sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-1,1,0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$\left|\overrightarrow{p}\right|$の最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$3$直線$4x-3y+3=0\text{，}x-4y+4=0\text{，}3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　複素数$z=2(\cos {\displaystyle \frac{11}{12}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{11}{12}}\pi )$のとき，$z^2\text{，}{z}^{-3}$および${|z-{\displaystyle \frac{1}{z}}|}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$について$B^{-1}AB\text{，}{(B^{-1}AB)}^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

【３】　関数$f(x)=e^{-2x}$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_1(x_1,0)$とする．次に$C$上の点$(x_1,f(x_1))$における接線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_2(x_2,0)$とする．以下同様に$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$に対して$C$上の点$(x_{n-1},f(x_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_n(x_n,0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_1$を求めよ．

(2)　$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．また$x_n$を$n$で表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^k{x}_k$を求めよ．

【４】　方程式$x-{(y-k)}^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}({(t-k)}^2,t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　$f(t)$の導関数を$f^{\prime }(t)$とするとき，方程式$f^{\prime }(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

(3)　$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=\log (1+x)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\{f({\displaystyle \frac{1}{n}})+f({\displaystyle \frac{2}{n}})+\cdots +f({\displaystyle \frac{n}{n}}\left)\right\}$

(3)　関数$g(x)=xf(x-1)-x$とするとき，$g(x)$の最小値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 3\theta$を$\sin \theta$で表せ．

(2)　$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．

(3)　関数$y=-8{\sin }^3\theta +6\sin \theta -3\cos \theta +4{\cos }^3\theta +1$の${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．