2015　東北大学　前期MathJax

【１】　次の性質をもつ数列$\{a_n\}$を考える．

$\begin{array}{ll}{a}_1=3& \\ a_{n+1}>a_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ {a_n}^2-2a_n{a}_{n+1}+{a_{n+1}}^2=3(a_n+a_{n+1})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$a_n+a_{n+2}$を$a_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)\text{，}\mathrm{P}(t,\sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．

(1)　三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とおく．$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【３】　サイコロを$3$回投げて出た目の数を準に$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$とし，$x$の$2$次方程式

$2p_1{x}^2+p_{2}x+2p_3=0\cdots$(＊)

を考える．

(1)　方程式(＊)が実数解をもつ確率を求めよ．

(2)　方程式(＊)が実数でない$2$つの複素数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，かつ$\alpha \beta =1$が成り立つ確率を求めよ．

【４】　$a>0$を実数とする．関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0\leqq t\leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．

(1)　$M(a)$を求めよ．

(2)　実数$x>0$に対し，$g(x)={M(x)}^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．

(3)　$a$が正の実数全体を動くとき，

$k={\displaystyle \frac{M(a)}{\sqrt{a}}}$

の最小値を求めよ．

【１】　$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．

$x^2+4y^2=1\text{，}x>0\text{，}y>0$

$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$l$とし，$\mathrm{P}$を通り$l$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式

$x^3-x>y>-x$

の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．

(1)　$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．

(2)　$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　サイコロを$3$回投げて出た目の数を準に$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$とし，$x$の$2$次方程式

$2p_1{x}^2+p_{2}x+2p_3=0\cdots$(＊)

を考える．

(1)　方程式(＊)が実数解をもつ確率を求めよ．

(2)　方程式(＊)が実数でない$2$つの複素数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，かつ$\alpha \beta =1$が成り立つ確率を求めよ．

(3)　方程式(＊)が実数でない$2$つの複素数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，かつ$\alpha \beta <1$が成り立つ確率を求めよ．

【４】　$a>0$を実数とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，座標平面の$3$点

$(2n\pi ,0)\text{，}$$((2n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\pi ,{\displaystyle \frac{1}{{\left\{\right(2n+{\displaystyle \frac{1}{2}})\pi \}}^a}})\text{，}$$((2n+1)\pi ,0)$

を頂点とする三角形の面積を$A_n$とし，

$B_n={\displaystyle {\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }}{\displaystyle \frac{\sin x}{x^a}}dx\text{，}{C}_n={\displaystyle {\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x^a}}dx$

とおく．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{2}{{\{(2n+1)\pi \}}^a}}\leqq B_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{{(2n\pi )}^a}}$

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_n}{B_n}}$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_n}{C_n}}$を求めよ．

【５】　$k\geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，

$n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1)$

が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k‐$連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

(1)　$n$が$k‐$連続和であることは，次の条件(A)，(B)の両方が成り立つことと同値であることを示せ．

(A)　${\displaystyle \frac{n}{k}}-{\displaystyle \frac{k}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$は整数である．

(B)　$2n>k^2$が成り立つ．

(2)　$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k‐$連続和となるような自然数$k\geqq 2$は存在しないことを示せ．

(3)　$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k‐$連続和となるような自然数$k\geqq 2$の個数を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

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