2015　東北大学　後期MathJax

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{C}(a,b,c)\text{，}$$\mathrm{M}(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$

と定める．空間内の点$\mathrm{P}$で

$4{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2+2{\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|}^2+3{\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2=30$

を満たすもの全体が$\mathrm{M}$を中心とする球面をなすとき，この球面の半径と$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をもたないような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することを示せ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$本の直線の交点が描く図形を図示せよ．

(1)　$ab+cd=6$が成り立つ確率を求めよ．

(2)　$ab-cd=1$が成り立つ確率を求めよ．

$y\geqq |x^2-1|\text{，}x\geqq |y-6|-5$

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

$3x-4y+4\geqq 0\text{，}4x+3y-28\leqq 0\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

の表す領域を$D$とし，不等式${(x-a)}^2+{(y-b)}^2\leqq 1$の表す領域を$E$とする．

(1)　$E$のすべての点が$D$の点となるような点$(a,b)$全体のなす図形の面積を求めよ．

(2)　$E$のいずれかの点が$D$の点となるような点$(a,b)$全体のなす図形の面積を求めよ．

$f(x)+f(y)=f\left({\displaystyle \frac{x+y}{1+xy}}\right)\text{（}-1<x<1\text{，}-1<y<1\text{）}$

$f(x)$は$x=0$で微分可能で，そこでの微分係数は$1$である

(1)　$-1<x<1$に対し$f(x)=-f(-x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$f(x)$は$-1<x<1$の範囲で微分可能であることを示し，導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$を求めよ．

(1)　次の$2$条件(a)，(b)は同値であることを示せ．

(a)　すべての整数$n$に対し，$f(n)$は$\mathrm{R}$の要素である．

(b)　$2\alpha \text{，}\beta -\alpha \text{，}\gamma$はすべて$\mathrm{R}$の要素である．

(2)　$x$が$\mathrm{R}$の要素ならば，${\displaystyle \frac{x(x+1)}{1-i}}$は$\mathrm{R}$の要素であることを示せ．

(3)　次の$2$条件(c)，(d)は同値であることを示せ．

(c)　すべての$\mathrm{R}$の要素$x$に対し，$f(x)$は$\mathrm{R}$の要素である．

(d)　$(1-i)\alpha \text{，}\beta -\alpha \text{，}\gamma$はすべて$\mathrm{R}$の要素である．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1+x^n}}}\text{，}{J}_n={\displaystyle {\int }_0^1}\log (\sqrt{1+x^n}+1)dx$

とおく．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　実数$t\geqq 0$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\log \left({\displaystyle \frac{\sqrt{1+t}+1}{2}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{t}{2(\sqrt{1+t}+1)}}$

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$0\leqq J_n-\log 2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4(n+1)}}$

(3)　導関数${\displaystyle \frac{d}{dx}}\log (\sqrt{1+x^n}+1)$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n(1-I_n)$を求めよ．