2015　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，

$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{APB}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{CPD}=\beta \text{，}\angle \mathrm{BAC}=\theta$

とする．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$以外の点である．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AP}$の長さを$\alpha \text{，}\theta$を用いて表し，$\mathrm{PC}$の長さを$\beta \text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}+{\displaystyle \frac{\cos \beta }{\sin \beta }}$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{BC}=2+\sqrt{7}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$\alpha$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=5$であり，直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$をみたすとする．さらに，線分$\mathrm{AC}$を$9:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)$が

$f(x)=3x^2-{\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt$

をみたすとき，次の問に答えよ．

(1)　方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$x={\displaystyle \frac{1}{u}}$とおくことにより解け．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a\geqq 0$とする．

【１】　$p\text{，}q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_p={\displaystyle \frac{p}{q}}\text{，}{S}_q={\displaystyle \frac{q}{p}}$が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_m\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

(3)　(2)の数列$\{b_n\}$について無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が${\displaystyle \frac{17}{48}}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．

【２】　実数$p\text{，}q$に対して，

$f(x)=x^2+px+q\text{，}g(x)=x^3-3x$

とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$として，次の問に答えよ．

(1)　$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha )g(\beta )$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$g(\alpha )=0$または$g(\beta )=0$であるとき，点$(p,q)$の集合を座標平面上に図示せよ．

(3)　$g(\alpha )=0$または$g(\beta )=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，

$\mathrm{OA}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$

であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}\text{，}$平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}\text{，}$平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}\text{，}$平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}\text{，}\mathrm{OBC}\text{，}\mathrm{OAC}\text{，}\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}\text{，}\mathrm{PE}\text{，}\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{(2x-1)(x-2)}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$g(x)=2x^3-6x+5$とする．このとき，$-3<\alpha <-1$かつ$g(\alpha )=0$をみたす$\alpha$が存在することを示せ．さらに，$x<\alpha$では$g(x)<0$であり，$x>\alpha$では$g(x)>0$であることを示せ．

(2)　(1)の$\alpha$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

【５】　$a$を定数とする．$2$曲線

$C_1\text{：}y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos 2x\text{（}0<x<2\pi \text{）}$

$C_2\text{：}y=a\cos x-a-{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{（}0<x<2\pi \text{）}$

を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．