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2015-10101-0101
2015 秋田大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 3 個のさいころを同時に投げるとする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 出る目の和が 5 になる確率を求めよ.
(ⅱ) 出る目の和が 10 になる確率を求めよ.
(ⅲ) 出る目の和が 5 の倍数になる確率を求めよ.
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【2】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 次の数列 { an } の一般項を求めよ.
4 ,11 , 24 ,43 , 68 , 99 ,⋯
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(ⅱ) 次の方程式を解け.
① log2⁡ x=log4 ⁡5
② log2 ⁡x2 =5
2015-10101-0104
(ⅲ) f⁡( x)= x3+ 3⁢x 2-45 ⁢x+41 とする. -8≦ x≦8 における関数 y =f⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.
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【3】 連立不等式 x ≧0 ,y≧ 0 ,3 ⁢x+y ≦8 ,x+ 3⁢y≦ 9 が表す領域を A とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 直線 3 ⁢x+y =8 と直線 x +3⁢y =9 の交点の座標を求めよ.また,領域 A を図示し,その面積を求めよ.
(ⅱ) 領域 A において, 3 4⁢ x +y の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの x , y の値を求めよ.
(ⅲ) 不等式 y ≧ 83⁢ x 2 が表す領域と領域 A の共通部分を領域 B とする.領域 B の面積を求めよ.
(ⅳ) 不等式 y ≦a⁢x が表す領域と領域 A の共通部分を領域 C とする.領域 C の面積が領域 B の面積と等しくなる実数 a の値を求めよ.
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【4】 f⁡( x)= |1+ 2⁢sin⁡ 2⁢x | とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 0≦x ≦π のとき,方程式 f ⁡(x )=0 を解け.
(ⅱ) 0≦x ≦π における関数 y =f⁡ (x ) のグラフの概形をかけ.
(ⅲ) ∫ 0π f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
(ⅳ) ∫ 1112 ⁢ πx f⁡( t)⁢ dt=3 ⁢π+18 ⁢3 となる x の値を求めよ.
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【5】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) a3 +b3 +c3 -3⁢a ⁢b⁢c を因数分解せよ.
(ⅱ) 整数 a , b ,c に対して, a+b +c と a ⁢b⁢c が 3 の倍数のとき, a3 +b3 +c3 は 9 の倍数であることを示せ.
(ⅲ) 実数 a , b ,c が a +b+c =6 , 1a+ 1b + 1c= 13 を満たすとき, a3 +b3 +c3 +3⁢a ⁢b⁢c の値を求めよ.
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【6】 四面体 OABC において, AB=BC =CA ,OA =1 , OB =OC= 2 , ∠ AOB=∠AOC =90⁢ ° , ∠BOC =θ とする.点 D を BC の中点とし, OA→ =a → ,OB →= b→ , OC→ =c→ とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 P を AD 上の点とし, AP:PD =t:( 1-t ) とするとき, a→ , b→ , c→ , t を用いて OP → を表せ.
(ⅱ) 点 P を AD 上の動点とする. OP の長さが最小となるとき, a→ , b→ , c→ , θ を用いて OP → を表せ.
(ⅲ) 点 Q を以下の ①〜③ を満たすように定める.このとき a→ , b→ , c→ , θ を用いて OQ → を表せ.
① 四面体 OABC の体積と四面体 QABC の体積は等しい
② QA=QB= QC
③ 線分 OQ は 3 点 A ,B , C が定める平面と交点をもたない
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【7】 F⁡( x) ,f ⁡(x ), g⁡( x) は関数である.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 0<a ≦π とし, F⁡( x)= ∫ ax cos⁡( t-a) ⁢g⁡ (sin⁡ (t- a) )⁢d t-f⁡ (x ) とする.
① f⁡( x) は ( 1-x) ⁢ ∫0x f⁡( t)⁢ dt=x ∫ x1 f⁡( t)⁢ dt と f ⁡(1 )=1 を満たすとする. f⁡( x) を求めよ.
② f⁡( x) は ① で求めた関数である. g⁡( x) は, x<y ならば g ⁡(x )>g ⁡(y ) を満たし, g⁡( 1 2 )=0 であるとする.このとき,開区間 ( a,2⁢ a) で F ⁡(x ) が極大値をただ 1 つもつように, a の値の範囲を定めよ.
(ⅱ) a≧0 とし, F⁡( x)= ∫ ax+a cos⁡ (t- a)⁢ g⁡( sin⁡( t-a) )⁢d t-f⁡ (x ) とする. f⁡( x)> 0 ,f′ ⁡(x )>0 であり, g⁡( x)= x⁢f⁡ (x ) であるとする. 0≦x ≦ π4 のとき F ⁡(x )≦0 となることを示せ.
志望別問題選択一覧
国際資源学部 【2】,【3】,【4】
教育文化(理数教育コース除く)学部 【1】,【2】,【3】
教育文化(理数教育コース)学部 【1】,【3】,【4】
医学部 【5】,【6】,【7】
理工学部 【1】,【3】,【4】