2015　山形大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

問１　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において

${\displaystyle \frac{a+b}{6}}={\displaystyle \frac{b+c}{5}}={\displaystyle \frac{c+a}{7}}$

であり，面積が$3\sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$があり，$a>0\text{，}$$b<0$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$と$▵\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．

【３】　座標平面上の放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，直線$l_1$に垂直な直線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C$と直線$l_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　放物線$C$と直線$l_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．

(5)　面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問１　実数$k$に対し，方程式$x|1-|x\left|\right|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

問２　赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)が成り立つとする．

(ⅰ)　この袋から$1$個の玉を同時時取り出すとき，赤玉が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(ⅱ)　この袋から$2$個の玉を取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{1}{7}}$である．

(ⅲ)　この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{6}{35}}$である．

　このとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3+a_1{x}^2+a_{2}x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は負の実数とする．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．$f^{\prime }(x)$の正の実数解を$\alpha \text{，}$負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha <\beta$を示せ．

(2)　$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．

(3)　$f(x)+f(-x)<0$を示せ．

(4)　$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x\leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

【３】　座標平面上の点$(\sqrt{3},0)$を$\mathrm{A}\text{，}$点$(-\sqrt{3},0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$が楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上にあり，$x_1>0\text{，}$$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$を$x_1$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$の値を求めよ．

(3)　楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　直線$l$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．

【４】　曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,e)$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,0)$とする．この曲線と直線$l$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を求めよ．

(2)　図形$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log y)}^{2}dy$を求めよ．

(4)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　二つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-a)}^2+b$

がある．ただし，$a\text{，}b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問に答えよ．

(1)　放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　(2)より$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

【２】　$y=\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問に答えよ．

(1)　図形$S$の面積を求めよ．

(2)　図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

(3)　部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{x}^2\sin xdx$

(4)　図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として

$x={\displaystyle \frac{2}{\pi }}t\text{，}y=\cos t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と表せることを利用せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^3}(x-1)(x-2)(x-3)dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式$|x^2-3|=2x$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a$を$1$でない自然数とする．不等式${({\log }_{a}x)}^2-{\log }_a{x}^3+2<0$を満たす自然数$x$が$1$つだけ存在するとき，$a$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \text{，}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=3$を満たす．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$\begin{array}{ll}{a}_n={(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}dx& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_n=a_{n+1}-a_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　$a_1=\log 2-1$を示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}}$を示せ．

(3)　$a_n=\log 2-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(4)　$x\geqq 0$のとき，${\displaystyle \frac{1}{1+x}}\leqq 1$であることを用いて，$\left|a_n\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$を示せ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}}$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}(b,\log b)$における法線をそれぞれ$l\text{，}m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$d=\sqrt{a^2+1}(b+{\displaystyle \frac{\log a-\log b}{a-b}})$を示せ．

(4)　$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$r=\underset{b\to a}{\lim }d$とする．

(ⅰ)　$r={\displaystyle \frac{{(a^2+1)}^{\frac{3}{2}}}{a}}$を示せ．

(ⅱ)　$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,e^a)$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$l$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{e^b}^{e^a}}{(\log y)}^{2}dy$を$a$を用いて表せ．

(4)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(5)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V}{a{e}^a}}$と$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V}{aS}}$を求めよ．