2015　福島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の関数の最大値および最小値を求めなさい．

$f(x)=\left|x\right|+|x-1|=|x-\mathrm{2<mo\; lspace=".2em"\; rspace=".2em">|</mo>}\text{（}-1\leqq x\leqq 3\text{）}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，${\log }_{10}x+{\log }_{10}y$の最大値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$f(\theta )=5\sin \theta -12\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$の最大値および最小値を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

$\cos 3\theta =4{\cos }^{<mn>3</mn>}\theta -3\cos \theta$

(2)　$\cos 54\mathrm{°}$の値を求めなさい．

(3)　頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　$3$次方程式$x^3+px+q=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．

(a)　$p\text{，}q$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて表しなさい．

(b)　${\alpha }^2{\beta }^2+{\alpha }^2{\gamma }^2+{\beta }^2{\gamma }^2$を$p\text{，}q$を用いて表しなさい．

(c)　次の式を因数分解しなさい．

$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

【４】　次の$2$つの曲線のどちらにも接する直線の方程式$y=ax+b$を求めなさい．

$\{\begin{array}{l}y=-2x^3+3\\ y=-2x^3-1\end{array}$

【５】　実数$x$をこえない最大の整数を$[x]$とし，$⟨x⟩=x-[x]$とする．また，$a$を定数として次の方程式を考える．

$4{⟨x⟩}^2-⟨2x⟩-a=0$

ただし，${⟨x⟩}^2$は$⟨x⟩$の二乗を表すとする．

(1)　$x=1.7$のとき$⟨x⟩$および$⟨2x⟩$を求めなさい．

(2)　$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha +n$も解であることを示しなさい．

(3)　上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}$を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{x^2-2x-3}}$を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1\leqq x\leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(4)　曲線$y=x{e}^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい．

【４】　空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,-1)$がある．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

【５】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$が

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\sin tdt$

をみたすとき，$f(x)$を求めなさい．

(2)　等式

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin tdt$

をみたす関数$f(x)$は存在しないことを示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を解きなさい．

$|x-5|>{\displaystyle \frac{3x-2}{2}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．

${\log }_{0.5}(x+5)<2{\log }_{0.5}(x-1)$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{x-1}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{2}}}{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{9-x^2}}}dx$

【２】　$3$点$\mathrm{A}(1,4)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(-2,7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,f(p))$がある．ただし，$-2<p\leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【３】　第$n$項が

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で表される数列$\{a_n\}$がある．この数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．また，$S_{10}$の値を求めなさい．

(2)　$S=2{\displaystyle \sum _{k=8}^{70}}{a}_k$の値を求めなさい．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$を共通の比$m:n$に内分する点を，それぞれ，$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ，$m\text{，}$$n\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{QP}}\right|}^2$の値，および，内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を，それぞれ，$m\text{，}$$n\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい．