2015　福島大学　後期理工学群MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{{(x-3)}^3}{(x-1){(x-2)}^2}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_{-1}^3}x\sqrt{|x^2-1|}dx$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t{e}^{t-1}dt$とするとき，次の極限を求めなさい．

$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{F(\sqrt{x})-F(1)}{\sqrt{x}-1}}$

【２】　$x\text{，}y$が，次の$4$つの不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}2x+y\leqq 8\text{，}2x+3y\leqq 12$を同時に満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x\text{，}y$のとりうる範囲を図示しなさい．

(2)　$x+2y+1$の最大値と最小値を求めなさい．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x-6}{x-2}}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の値が負の整数となるような，整数$x$をすべて求めなさい．

(2)　$f\left({\displaystyle \frac{4a}{2a+1}}\right)$と$f\left({\displaystyle \frac{2a+1}{a}}\right)$の和を求めなさい．ただし，$a$は定数とする．

(3)　$f\left({\displaystyle \frac{4a}{2a+1}}\right)$と$f\left({\displaystyle \frac{2a+1}{a}}\right)$の積が最大となるような$a$の値を求めなさい．

【４】　第$k$項が

$b_k=a^k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で表される数列$\{b_k\}$がある．ただし，$a\ne 1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k={\displaystyle \frac{1-a^{n+1}}{1-a}}$

が成り立つことを示しなさい．ただし，$n\geqq 2$とする．

(2)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$

(3)　上の(1)の等式を利用して

$1+2\cdot 2+3\cdot 4+4\cdot 8+5\cdot 16+6\cdot 32+7\cdot 64+8\cdot 128+9\cdot 256+10\cdot 512$

を計算しなさい．

【５】　関数$f(x)$に対して，関数$g(x)$を

$g(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}(f^{\prime }(x)-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}})$

とする．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)=a{x}^2+b$とする．このとき，$g(x)$を計算しなさい．ただし，$a\text{，}b$は正の定数とする．

(2)　$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を用いて表しなさい．ただし，$f^{″}(x)$は$f(x)$の第$2$次導関数とする．

(3)　$f(x)=a{x}^2+b+{\displaystyle \frac{c}{x^2}}\text{，}1\leqq x\leqq 2$とする．このとき，$g(x)$の値のとりうる範囲を求めなさい．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は正の定数とし，$a>c$とする．