2015　茨城大学　前期MathJax

【１】　$0<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$M={\log }_{2}8a+{\log }_{4a}{\displaystyle \frac{1}{16}}$について，次の各問に答えよ．

(1)　${\log }_{2}a=b$とするとき$M$を$b$を用いて表せ．

(2)　不等式$M>{\log }_{\frac{1}{3}}9$を満たす定数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=-a^2{x}^2+1$と直線$l\text{：}y=a(x+1)$について，次の各問に答えよ．ただし，$a$は$a>0$を満たす定数とする．

(1)　$C$と$l$が異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$l$が$C$に接するとき，不等式$x\leqq 0$の表す領域内において$C$と$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$3$次方程式$2x^3-25x^2+(5n+2)x-35=0$について，次の各問に答えよ．

(1)　方程式の$1$つの解が自然数であるとき，$n$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$n$に対して，方程式の解をすべて求めよ．

【４】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$について，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CE}$とし，$2$線分$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{BE}\cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD}\cdot \mathrm{CA}=\mathrm{BF}\cdot \mathrm{BD}+\mathrm{CF}\cdot \mathrm{CE}$を示せ．

(2)　${\mathrm{BC}}^2=\mathrm{BE}\cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD}\cdot \mathrm{CA}$を示せ．

【１】　$f(x)=2x{e}^{-x}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　正の実数$a$に対して，$I_a={\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-ax}dx\text{，}{J}_a={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{e}^{-ax}dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$および${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0\text{，}x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が$2$つの条件

(＊)　$\{\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|\\ \overrightarrow{\mathrm{QP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

を満たしながら動くものとする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|$を$a$で表せ．

(2)　$\angle \mathrm{PQR}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．

(3)　$a$がとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,0)$に固定する．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が(＊)および

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$

を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．

(5)　(4)において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=\log x\text{（}x>0\text{）}$と曲線$C_2\text{：}y=-x^2+a$を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の各問に答えよ．

(1)　曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\log t)$における法線$l$の方程式を求めよ．ただし，曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．

(2)　(1)で求めた法線$l$と曲線$C_2$が接するとき，$a$の値を$t$を用いて表せ．また，$C_2$と$l$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$x$軸，および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S(t)$の極値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f(x)=x^2\sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^{\prime }(e^3)$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$y=\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(3)　極限$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^3-8}}{\displaystyle {\int }_2^x}{t}^2{2}^{t^2}dt$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　$0$でない$2$つの実数$a\text{，}b$が$a+b+1=0$を満たすとき，${\displaystyle \frac{b^2}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}+{\displaystyle \frac{a^2}{b}}$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$x$の$3$次方程式$x^3-(m+1)x^2-x+m+1=0$が異なる$3$つの実数解をもつとする．これら$3$つの実数解からなる数列が公差$2$の等差数列となるような定数$m$の値をすべて求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　${21}^{2015}$を$400$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$2$点を$\mathrm{A}(3,-1,2)\text{，}\mathrm{B}(0,5,8)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面$\alpha$を考える．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　平面$\alpha$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，四面体$\mathrm{OLMN}$の体積を求めよ．

【４】　$xy$平面において，関数$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$が表す曲線を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}})$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}x$軸，直線$x=t\text{，}$および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．