2015　茨城大学　後期MathJax

(1)　$p$が$0\leqq p\leqq 1$を満たすとき，最小の$b$の値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2-4ax-4a-{\displaystyle \frac{b}{7}}=0$が異なる$2$つの虚数解をもち，その虚数解の実部が$p$であるとき，$a\text{，}b\text{，}p$の値を求めよ．

(1)　三角形$\mathrm{OCD}$の外側に右図のように$\mathrm{OC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$と，$\mathrm{OD}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ODEF}$を作る．このとき，$\mathrm{AD}\perp \mathrm{CF}$であることを証明せよ．

(2)　$a\text{，}b$はともに正の定数とする．座標平面上に，$\mathrm{P}(-a,a)\text{，}\mathrm{Q}(-a,0)\text{，}\mathrm{R}(2b,0)\text{，}\mathrm{S}(b,-b)$がある．線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{T}$とするとき，三角形$\mathrm{TQS}$が直角三角形になることを示せ．

(1)　$f(n)\cdot g(n)\cdot h(n)=225$を満たす$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数$n$のうち，最大の数を$n_0\text{，}$最小の数を$n_1$とするとき，整数$m=n_0-n_1$を求めよ．

(2)　$a$を正の定数とする．(1)で求めた整数$m$に対して，座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(f(m),a{\{f(m)\}}^2)\text{，}\mathrm{B}(g(m),a{\{g(m)\}}^2)\text{，}\mathrm{C}(-h(m),a{\{h(m)\}}^2)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$が直角であるとき，定数$a$の値を求めよ．

(3)　(1)で求めた整数$m$と(2)で求めた$a$に対して，直線$\mathrm{AC}$と放物線$y=a{x}^2$で囲まれた図形を直線$y=bx$で$2$つの部分に分けるとする．このとき，$2$つの部分の面積が等しくなるように定数$b$の値を求めよ．

(1)　さいころを$5$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,3)$にあり，引き続きさいころを$5$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(1,2)$を通らずに$\mathrm{O}$に戻る確率を求めよ．

(2)　さいころを$11$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(4,5)$にある確率を求めよ．

(1)　関数${\cos }^{2}x$の導関数と不定積分を求めよ．

(2)　$0<x\leqq 2\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．さらに，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$T_n={\displaystyle {\int }_{-n\pi }^{n\pi }}f(x)dx$と$S_n={\displaystyle {\int }_{-n\pi }^{n\pi }}xf(x)dx$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S_n$に対し，無限級数${\displaystyle \frac{1}{S_1{S}_2}}+{\displaystyle \frac{1}{S_2{S}_3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{S_n{S}_{n+1}}}+\cdots$の和を求めよ．

$l$は$2$点$\mathrm{A}(2,{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}},-\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{B}(3,{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$を通る直線である．

$m$は$2$点$\mathrm{C}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}},2,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{D}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}},3,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$を通る直線である．

$\mathrm{P}$を$l$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とするとき，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{CD}}$と表すことができる．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の両方と直交するとき，$s$と$t$の値を求め，そのときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の値を求めよ．

(3)　$s=t$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を$s$で表せ．

(4)　(3)において，$s$が自然数で，かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$も自然数となるような，$s$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の組み合わせをすべて求めよ．

$F(x)=a+{\displaystyle {\int }_a^x}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt\text{（}x>0\text{）}$

とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$x>a$のとき，不等式

${\displaystyle {\int }_a^x}{\displaystyle \frac{1}{t}}dx<{\displaystyle \frac{1}{a}}(x-a)$

を示せ．

(2)　$x>a$のとき，不等式$a<F(x)<x$を示せ．

次に，$x_0>a$とし，数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots$を

$x_n=F(x_{n-1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(3)　すべての自然数$n$に対して，不等式$a<x_n<x_{n-1}$を示せ．

(4)　すべての自然数$n$に対して，不等式

$x_n-a<{\displaystyle \frac{1}{a}}(x_{n-1}-a)$

を示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$を示せ．

(1)　参加者が水戸黄門，助さん，格さんの$3$人の場合，大会全体の対局数はいくつか．大会の最少日数は何日間か．また，最少日数での対局日程は何通りあるか．

(2)　参加者が水戸黄門，助さん，格さん，お銀の$4$人の場合，大会全体の対局数はいくつか．大会の最少日数は何日間か．また，最少日数での対局日程は何通りあるか．

(3)　参加者が水戸黄門，助さん，格さん，お銀，弥七の$5$人の場合を考える．$5$日間で順番に水戸黄門，助さん，格さん，お銀，弥七が休むとき，$5$日間で大会が終了する対局日程は何通りあるか．

(4)　参加者が水戸黄門，助さん，格さん，お銀，弥七の$5$人の場合，大会全体の対局数はいくつか．大会の最少日数は何日間か．また，最少日数での対局日程は何通りあるか．

　容器$\mathrm{A}$には濃度$10\mathrm{\%}$の食塩水が$100\mathrm{g}\text{，}$容器$\mathrm{B}$には濃度$6\mathrm{\%}$の食塩水が$50\mathrm{g}$入っている．このとき，次の操作を考える．

【操作】$\mathrm{A}$から食塩水$10\mathrm{g}\text{，}\mathrm{B}$から食塩水$10\mathrm{g}$をそれぞれ取り出した後，$\mathrm{A}$から取り出した食塩水を$\mathrm{B}$に入れ，$\mathrm{B}$から取り出した食塩水を$\mathrm{A}$へ入れてそれぞれの容器をよく混ぜる．

　この操作を$n$回（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）繰り返した後の容器$\mathrm{A}\text{，}$容器$\mathrm{B}$に含まれる食塩の量をそれぞれ$a_n\mathrm{g}\text{，}{b}_n\mathrm{g}$とすると，$a_1=\boxed{\text{セ}}$であり，$a_n+b_n$は$n$によらず一定値$\boxed{\text{ソ}}$である．従って，$a_{n+1}$と$a_n$の間の関係式を$b_n$を用いずに表すと，$a_{n+1}=\boxed{\text{タ}}{a}_n+\boxed{\text{チ}}$が成り立つ．これより，操作を$n$回繰り返した後の容器$\mathrm{A}$の濃度を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{ツ}}\%$となる．