2015　筑波大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y\leqq 1\\ x-y\leqq 1\end{array}$

(2)　$2$つの放物線$y=x^2-2x+k$と$y=-x^2+1$が共有点をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$x\text{，}y$が(1)の連立不等式を満たすとき，$y-x^2+2x$の最大値および最小値と，それらを与える$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．また，$\alpha =\angle \mathrm{CAB}\text{，}\beta =\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．

(2)　$t=\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　不等式$S\geqq 3\sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

【３】　$p$と$q$は正の整数とする．$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし$\alpha >\beta$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし${\alpha }^0=1\text{，}{\beta }^0=1$と定める．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2p{a}_{n+1}+q{a}_n$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．

(3)　自然数$n$に対し，${\displaystyle \frac{a^{n-1}}{2}}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

【４】　$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,f(t))$における接線を$l$とする．直線$l$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．

(1)　次の等式を示せ．

$b(t)={\displaystyle \frac{2t{e}^{-t}}{e^t+e^{-t}}}+\log (1+e^{-2t})$

(2)　$x\geqq 0$のとき，$\log (1+x)\leqq x$であることを示せ．

(3)　$t\geqq 0$のとき

$b(t)\leqq {\displaystyle \frac{2}{e^t+e^{-t}}}+e^{-2t}$

であることを示せ．

(4)　$b(0)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{4t}{{(e^t+e^{-t})}^2}}dt$であることを示せ．

【５】　$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos x-\sin x)$

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$h(x)=\sin x$

とおく．$3$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)\text{，}y=h(x)$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす部分を，それぞれ$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$とする．

(1)　$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$の値を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【６】　$\alpha$を実数でない複素数とし，$\beta$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．ただし，複素数$w$に対してその共役複素数を$\bar{w}$で表す．

(1)　複素数平面上で，関係式$\alpha \bar{z}+\bar{\alpha }z={\left|z\right|}^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする．このとき，$C$は原点を通る円であることを示せ．

(2)　複素数平面上で，$(z-\alpha )(\beta -\bar{\alpha })$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする．$L$は(1)で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ．また，その$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\bar{\alpha }$を用いて表せ．

(3)　$\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする．(2)で定めた点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$\beta$を$\alpha$と$\bar{\alpha }$を用いて表せ．

【７】　$\alpha \text{，}\beta$は異なる$2$つの実数とする．座標平面において$2$点$(\alpha ,1)\text{，}(\beta ,1)$をそれぞれ点$({\alpha }^2,\alpha )\text{，}({\beta }^2,\beta )$に移す$1$次変換を表す行列を$A$とする．自然数$n$に対し，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$Q=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 1& 1\end{array}\right)$とおくと$AQ=Q\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$となることを示せ．

(2)　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots$がすべて直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にあるような$\alpha \text{，}\beta$を$1$組求め，そのときの行列$A$を求めよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【２】から１題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【４】か【５】から1題，【６】か【７】から1題選択

人間学群

　教育学類，心理学類 　【１】，【２】，【３】必須，【４】，【５】，【６】，【７】から1題選択

障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　数学III選択者　【４】，【５】必須

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

　地球学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

　応用理工学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

　工学システム学類

　　　選択１　【４】，【５】必須，【１】〜【３】と【６】から３題選択

　　　選択２　【４】，【５】必須，【１】〜【３】と【７】から３題選択

　社会工学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

情報学群

　情報科学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択

　情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】から1題選択，【３】〜【５】必須，【６】，【７】から１題選択

　知識情報・図書館学類

　　選択１（数学II，数学B）　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　選択２（数学III）　【４】〜【６】から2題選択

　　選択３（数学III）　【４】，【５】，【７】から2題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】から2題選択，【４】，【５】必須，【６】，【７】から１題選択