2015　筑波大学　後期理工学群MathJax

【１】　曲線$y=x^3$上に点${\mathrm{P}}_1(a,a^3)$がある（$a\ne 0$）．まず，点${\mathrm{P}}_1$を通り点${\mathrm{P}}_1$以外の点でこの曲線に接する接線を引き，その接点を点${\mathrm{P}}_2$とする．以下同様に繰り返して，点${\mathrm{P}}_n$を通り点${\mathrm{P}}_n$以外の点でこの曲線に接する接線を引き，その接点を点${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．点${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,{x_n}^3)$として$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$，以下の設問に答えよ．

(1)　$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．

(2)　$x_n$を$a\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$L_n$とするとき，${L_n}^2$を$a\text{，}n$を用いて表せ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{L_n}^2$の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ．

【２】　曲線$x^2-y^2=1$上に点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は第$1$象限内にある．また，$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{x\sqrt{x^2+A}+A\log (x+\sqrt{x^2+A})\}$を計算せよ．ただし，$A$は定数である．

(2)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線，$x$軸，および曲線$x^2-y^2=1$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$f(2S)$を，$\alpha$または$\beta$を用いて表せ．

(4)　逆関数$y=f^{-1}(x)$を求めよ．

【３】　複素数平面上で，複素数$\alpha$を表す点$\mathrm{A}(\alpha )$に対して，$\beta ={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$により定まる点$\mathrm{B}(\beta )$を考える．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数を表す．また，$\alpha$は実数ではなく，$\left|\alpha \right|\ne 1$であるとする．複素数平面の原点を$\mathrm{O}$として，以下の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は一直線上にあることを示せ．

(2)　複素数$1$により表される点を$\mathrm{C}(1)$とする．$▵\mathrm{OAC}$と$▵\mathrm{OCB}$は相似であることを示せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心（外心）を$\mathrm{D}(\delta )$とするとき，複素数$\delta$を$\alpha$を用いて表せ．ただし，共役複素数や絶対値を表す記号を用いてもよい．

(4)　$\angle \mathrm{OCD}$の大きさを求めよ．

【４】1.　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 5\end{array}\right)$とする．自然数$n$を用いて$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$と表すとき，以下の設問に答えよ．

(1)　$A^{n+1}=A^{n}A$の関係より，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}\text{，}{d}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{d}_n$を求めよ．

(3)　$e_n={\displaystyle \frac{c_n}{d_n}}$として，$e_{n+1}$を$e_n$で表し，$e_n$を求めよ．

(4)　$A^n$を求めよ．

【４】2.　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．座標平面において，直線$y=(\tan \theta )x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f\text{，}$原点のまわりの角度$\theta$の回転移動を表す$1$次変換を$g\text{，}x$軸に関する対称移動を表す$1$次変換を$h$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　合成変換$g\circ f\text{，}h\circ f$を表す行列を求めよ．

(2)　一辺の長さ$l$の正三角形が合成変換$g\circ f$および$h\circ f$のどちらによって移されても自分自身にちょうど重なるとき，その正三角形の頂点の座標と定数$\theta$の値を求めよ．