2015　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　$p_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}=1$かつ$p_1\geqq p_1$を満たす$(p_1,p_2)$を全て求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}+{\displaystyle \frac{1}{p_3}}=1$かつ$p_1\geqq p_2\geqq p_3$を満たす$(p_1,p_2,p_3)$を全て求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．どのような有理数$q$についても

${\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{p_n}}=q$

を満たす$(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$は，あったとしても有限個しかないことを示せ．

(4)　各自然数$n$について

${\displaystyle \frac{1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{1}{p_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{p_n}}=1$

を満たす$(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$の個数を$S_n$とする．$S_{n+1}$と$S_n$はどちらが大きいか．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．点$(n,1)$から曲線$C\text{：}y=x^2$に引いた$2$本の接線のうち，傾きが小さい方の接点の$x$座標を$a_n$とする．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$を求めよ．

(3)　$a_n$は有理数になり得るか．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$(\cos ({\displaystyle \frac{6\pi n}{5}}),\sin ({\displaystyle \frac{6\pi n}{5}}\left)\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって表される平面上の点をすべて図示せよ．

(2)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos \left({\displaystyle \frac{6\pi k}{5}}\right)\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin \left({\displaystyle \frac{6\pi k}{5}}\right)$

とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．