2015　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の中で，頂点$\mathrm{A}$から出た線が，最初に辺$\mathrm{BC}$で反射し，その後それぞれの辺に当たって右の図のように（すなわち入射角と反射角が等しいように）反射を繰り返す．三角形$\mathrm{ABC}$の辺上の反射点を順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$とし，以下，いずれかの頂点に達したら終了する．

ただし，$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1=a({\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1)$とする．

次の問に答えなさい．

問１　最も少ない回数で頂点$\mathrm{A}$に戻るときの$a$の長さと反射の回数を求めなさい．また，そのとき，頂点$\mathrm{A}$から出て再び頂点$\mathrm{A}$に戻るまでの反射した線の長さの合計を求めなさい．

問２　問１の条件で$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\mathrm{Q}$の面積を求めなさい．

問３　反射が辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\cdots$の順で規則的に繰り返されたとき，$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1=X_1\text{，}\mathrm{C}{\mathrm{P}}_2=X_2\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_3=X_3\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{P}}_4=X_4\text{，}\cdots$とおく．このとき，$X_n$を$a$と$n$の式で表しなさい．

【２】　$x$についての$2$次方程式

$x^2-2x\sin \theta +\cos 4\theta =0$

が実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつ（重解を含む）．

$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$のとる値の範囲を求めなさい．

【３】　$\mathrm{TSUKUBAIGAKU}$の$12$文字（$\mathrm{U}3$個，$\mathrm{A}\cdot \mathrm{K}$各$2$個，外は各$1$個）を横一列に並べる．次の問に答えなさい．

問１　並べ方は全部で何通りあるか求めなさい．

問２　$\mathrm{U}\mathrm{K}$または$\mathrm{U}\mathrm{S}$という並びの少なくとも一方を含む並べ方は何通りあるか求めなさい．

問３　$\mathrm{U}\mathrm{K}$または$\mathrm{K}\mathrm{U}$という並びの少なくとも一方を含む並べ方は何通りあるか求めなさい．