2015　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数

$f(x)=x^2-mx+n$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$m$のとり得る値をすべて求めよ．

問２　$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,n)$をすべて求めよ．

問３　$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．

問４　不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．

問５　方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，同時に$\alpha <2$かつ$\beta <2$となる確率を求めよ．

（編注）2011年山形大前期理・人文・農学部数学【２】を活用

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問２　問１における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．

問３　問２において，さらに$s={\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

【３】　$b_1=1\text{，}{b}_2=4\text{，}{b}_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}-a_n=b_n+{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$をみたすとき，次の問いに答えよ．

問１　$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．

問２　$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．

問３　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

問４　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．

問１　座標平面上の点$\mathrm{P}(u,u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．

問２　問１における$2$直線と曲線$y=x^2$との接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

問３　問１における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．

問４　問３で求めた面積$S$の最小値を求めよ．

【５】　微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^{\prime }(x)=x{e}^x\text{，}f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$を求めよ．

問２　すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．

$g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{(2-x)e^x}{e-1}}{\displaystyle {\int }_0^1}g(t)dt$

問３　$g(x)$を問２で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=\infty$を用いてよい．

【６】　$m\geqq 1$を整数とする．関数$f(x)=(\pi -x)\sin mx\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f(x)=0$となるすべての$x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の値を，小さい順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_N$で表す．このとき，$N$を$m$の式で表し，$x_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$を$k$と$N$の式で表せ．

問２　問１で定めた$x_k$と$x_{k+1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1\text{）}$に対し，曲線$y=f(x)\text{（}{x}_k\leqq x\leqq x_{k+1}\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_k$とするとき，$S_k$を$k$と$m$の式で表せ．

問３　問２で求めた面積$S_k$の$k=1$から$N-1$までの和${\displaystyle \sum _{k=1}^{N-1}}{S}_k$を求めよ．

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