2015　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文MathJax

【１】　$1$から$8$までの$8$個の数字全部を$1$列に並べるとき，次の問いに答えよ．

問１　両端が奇数であるような並べ方は何通りあるか．

問２　偶数が隣合わないような並べ方は何通りあるか．

問３　$45172368$や$73542861$のように，$2$が$1$と$3$の間にあるような並べ方は何通りあるか．

問４　$1$列に並んだ$8$個の数字を左端から順に$2$個ずつ組にしたとき，各組の$2$つの数の和がすべて偶数であるような並べ方は何通りあるか．

【２】　条件$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．次の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$を求めよ．

問２　第$n$項を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

【３】　$a$は定数であり，$0<a\leqq 2$とする．関数$f(x)=x^2(3a-x)$について，次の問いに答えよ．

問１　$a=1$であるとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．

問２　$f(-1)$と$f(3)$の最小関係を調べよ．

問３　$f(-1)$と$f(2a)$の大小関係を調べよ．

問４　$x$が$-1\leqq x\leqq 3$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の最大値$m$を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

問１　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$には次の性質がある．

• $\text{①}$　$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}$
• $\text{②}$　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$
• $\text{③}$　$\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$
• $\text{④}$　$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$
• $\text{⑤}$　$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$
• $\text{⑥}$　$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}$



• $\text{⑦}$　$\mathrm{AO}=\mathrm{CO}$
• $\text{⑧}$　$\mathrm{BO}=\mathrm{DO}$

　この$8$つの性質の中の$2$つの性質を組合せることで，「平行四辺形になるための条件」がつくられる．次のアからカは，中学校の数学の教科書に掲載されている「平行四辺形になるための条件」である．

• ア.　$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}\text{，}\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$
• イ.　$\mathrm{AB}=\mathrm{DC}\text{，}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$
• ウ.　$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\text{，}\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}$
• エ.　$\mathrm{AO}=\mathrm{CO}\text{，}\mathrm{BO}=\mathrm{DO}$
• オ.　$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$
• カ.　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

　そこで，上記のアからカの 6 つの組み合わせ以外に，$\text{①}$から$\text{⑧}$の$8$つの性質の中から$2$つを使い，それぞれ

(1)　「平行四辺形になるための条件」になる組み合わせ，

(2)　「平行四辺形になるための条件」にならない組み合わせ

をひとつ挙げ，その理由を説明せよ．

【４】　次の問に答えよ．

問２　「数学のよさ」として，私たちの身の回りの様々なものに数学が用いられているという「数学の有用性」がしばしば指摘される．しかし，「数学の有用性」だけが「数学のよさ」ではない．「数学の有用性」以外で，あなたの考える「数学のよさ」について，今までの学習してきた算数・数学の例を用いながら$600$字以内で述べよ．