2015　群馬大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a\text{，}{b}_1=b\text{，}{c}_1=c\text{，}{d}_1=d$で与えられ，漸化式

$a_{n+1}=2a_n+b_n\text{，}{b}_{n+1}=a_n+2b_n\text{，}{c}_{n+1}=2c_n+d_n\text{，}{d}_{n+1}=c_n+2d_n$

を満たす．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は${\displaystyle \frac{c}{a}}<{\displaystyle \frac{d}{b}}$を満たす正の数とする．

(1)　${\displaystyle \frac{c}{a}}<{\displaystyle \frac{c+d}{a+b}}<{\displaystyle \frac{d}{b}}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　すべての自然数$n$について${\displaystyle \frac{c_n}{a_n}}<{\displaystyle \frac{d_n}{b_n}}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$a=2\text{，}b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を単位ベクトルとし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$とおく．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta \text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$とし，$x=\cos \theta$とおく．

(1)　$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の大きさを$x$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$を$x$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角も$\theta$に等しいとき，$\theta$を求めよ．

【３】　$p$は素数とし，$m\text{，}n$は整数で$m\ne 0$とする．$n\text{，}p-m\text{，}m+n$がこの順で等差数列になり，$p-m\text{，}n\text{，}p+m$がこの順で等比数列になるとき，$p\text{，}m\text{，}n$を求めよ．

【４】　座標平面上の楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$を$\alpha >0\text{，}\beta >0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とおく．

(1)　$l$の方程式を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

【５】　すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^{\prime }(x)$は連続とする．$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)$が等式

${\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{1+{(f^{\prime }(t))}^2}dt=-e^{-x}+f(x)$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(0)$を求めよ．

(3)　$f(x)$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}x\sqrt{1+{(f^{\prime }(x))}^2}dx$を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の$7$個の文字すべてを$1$列に並べる．

(1)　この並べ方は何通りあるか．

(2)　$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．

(3)　$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．

【４】　$a$を定数とし，曲線$y=x^3+a{x}^2+3x$を$C$とおく．$C$上の点$\mathrm{O}(0,0)$における$C$の接線を$l$とし，$\mathrm{O}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．

(1)　$l\text{，}m$の方程式を，それぞれ求めよ．

(2)　$m$が$C$に接するとき，定数$a$の値を求めよ．

【５】　点$\mathrm{P}(0,4)$を通る傾き${\displaystyle \frac{1}{5}}$の直線を$l$とし，曲線$y=|x(x-4)|$を$C$とする．

(1)　$l$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．

(2)　$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を単位ベクトルとし，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$とおく．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角がともに$\theta$であるとき，$\theta$を求めよ．ただし$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$は正の数で，$x+y+z={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=4$を満たす．

(1)　$x+y=a\text{，}xy=b$とおくとき，$a\text{，}b$を$z$を用いて表せ．

(2)　$z$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を示せ．

(2)　関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$は(2)で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty ,\infty )$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】(1)　数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {(-1)}^n+{\displaystyle \frac{5}{2}}$で与えられるとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{7^n}}$の和を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$b_n$は$0\leqq b_n\leqq 6$を満たす整数で，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{b_n}{7^n}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$が成り立つ．このとき$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$を求め，さらに数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^{\prime }(x)$は連続とする．$f(x)\text{，}{f}^{\prime }(x)$が等式

${\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{1+{(f^{\prime }(t))}^2}dt=-e^{-x}+f(x)$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$x=1\text{，}$および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．